X.sn^l

est une fonction doublement périodique aux périodes 210, 2(o' qui reste finie dans un parallélogramme des périodes. Elle se réduit donc à une constante C et Ton a

pu = G.

X2sn2^

Pour déterminer la constante C, développons en série le premier

ÉTUDE SPÉCIALE DES NOTATIONS DE JAGOBI. iSq

membre dans le voisinage de w = o. On a (n° 94)

sn M = u -z — m' H- ... ,

sn*M w*'/ i-H A:* . \* m*

/ i-HA:» V

et, d'autre part,

Donc

Faisant w = o, on a G = tt?-' d'où la relation cherchée

3Xî X2 ,M On sait que^ := pu satisfait à Féquatlon différentielle

avec les conditions

ei = pa), e2=p(ci)-i-u)'), 63= pw'.

Calculons ^i, ^2, ^3 en fonction de k^ et de).; pour u = to, .7 = R, snR= I,

\ -h k^ 1 pour u=tù'^ y = îK', sn(/R') = oo

ez =

pour w = (i> + 10', y := R + « R', sn ( Y j = j!

l4o CHAPITRE IV.

Après des réductions évidentes, on trouve les égalités

^- 2 — k* ., 2 A* — I ., f-4-A:* *" — 3 — * Aïeî= — - — , A»e3 = ^ — ,

et on en déduit

Dans le cas particulier où l'on considère la fonction p m construite avec les périodes 2R et 2iK! elles-mêmes, on a X= i et la relation entre p et sn devient

pu = — i(A-2-i-i).

•^ sn*w 3

98. Théorème. — Toute fonction elliptique aux périodes 1}^ et 2iK! est une /onction rationnelle de sn^w et de sa dérivée 2 sn w en M dn M.

En effet nous avons démontré (n° 49) que toute fonction elliptique est une fonction rationnelle de pw elp'u. Comme la relation ci-dessus donne

isiiucnudinu

sn-^zA

on voit que la fonction considérée, exprimée rationnellement en pu et jd'm, se transforme immédiatement en une fonction rationnelle de sn^u et de sa dérivée.

Si l'on considère en général une fonction elliptique avec des périodes quelconques 210 et 210', elle est une fonction rationnelle

de pu et p' Uj c'est-à-dire de sn^^ et de sa dérivée.

99. Développements dev) et deY^'en série. — Pour avoir un développement de T^ en série, nous partirons de la relation entre ^u et Zw démontrée Chapitre II, n*' 21 [équation (19)] et que nous récrivons ici

- u = tu — Zm.

En prenant les dérivées des deux membres et en faisant ensuite

ù = co', nous trouvons

-^ = — pu — Z M, Cl) ^ '

lUlS

Z'ci)' peut s'obtenir en faisant u = o dans

^ (" -^ ^ > - Si Lh(i. + u)')J " 5^ [êôôJ •

Or, du développement en produit infini de B(u) obtenu au n** 78, savoir

e(a) = A M — 2^ CCS •- ^*)( < — 2q^ cas H ^^). . .,

on déduit successivement

•x-T— ^ = — sm — ,

S(u) u) cjoI ira, «'îïw.

^ ^ ' I — 27 CCS \- g^ I — 273 cos \-g^

d S (u) , . 7ta -^ -777-4 = P sin — du 6(w) w

-+-... \ — :rCOS 9

TZU „ , TZU ^ I Oj2 CO