I — 2<7COS — H- ^^ I — 27*C0S
P désignant une fonction de u qui reste finie pour u = o. Donc
2 7:2 V^ ûri
et, par suite,
. ft)'
Pour avoir le développement de r/, dans l'égalité précédente,
remplaçons (o et w' par lo' et — to; q =^e ^ devient qQ= e ^'; de plus ^3 = p(<*>') devient e< = p(^)? ^^l- nous obtenons
Cl)
— z TU — 'i' — 1^ Oj Jj ••••
l42 CHAPITRE IV.
100. Exemples de décomposition en éléments simples et d'intégpration. — i° Prenons d'abord la fonction
où a est une constante qui n'est pas de la forme 2/nR + iniYJ , Cette fonction est du second ordre; elle admet, dans un parallélogramme des périodes 2R et 2/K', deux pôles simples homologues respectivement des points -f- a et — a. Le résidu A relatif au pôle
w = a est
A = lim
sn*M — sn*a
pour u = a. La limite de ce rapport s'obtient immédiatement en prenant la limite du rapport des dérivées
1 sua cnadna
Le résidu relatif à l'autre pôle u = — a est — A. On a donc, en appelant B une constante,
f{u)= kZ{u — a) — AZ(M-i-a)-+-B,
ou, en remplaçant A par sa valeur,
2snacnadna „. . ,,, .
— = Z(w — a)— Z(w-ha)+ G,
C désignant une autre constante. Nous déterminons C en faisant n = o, ce qui donne
2cnadna
G = [-iZ(a),
sna ^
Cette valeur de C se simplifie si l'on se reporte à la définition
de sn «,
qui donne, en prenant les dérivées logarithmiques des deux
membres,
cnudnu „, . B'(m)
snw ^ ^ e(w)'
ETUDE SPÉCIALE DES NOTATIONS DE JACOBI. l43
on a donc en changeant u en a
'"^^^ d'où la formule définitive
sn*M — sn^a \ / \ / 0(a)
Cette même formule s'obtiendrait en regardant le premier membre comme une fonction de a et le décomposant en éléments simples.
En intégrant les deux membres par rapport à u^ on a
2snacnadna , . H(m — «) 6'(a)
— du = Log =5- -H 2 w .-^ -1- const.
De même en intégrant les deux membres dç la formule (18) par rapport à a et remarquant que 2snacnadna est la dérivée de sn^a, on a
Log(snîa — sii*m) = Log H (a — a)-+-LogH(a-+- u) — 1 Log6(a)-f- Log G,
G désignant une constante relativement à a.
On en conclut
H(a— a)H(aH- w)
sn*a — sn* w = G -^rr-, — 7
et, en faisant a = o,
D'où la formule définitive
sn*a — sn^w =
mettant en évidence les zéros et les pôles du premier membre.
2° Proposons-nous maintenant de décomposer en éléments simples la fonction
sn^M
qui admet, dans un parallélogramme des périodes, un pôle double homologue du point w = o. Comme, dans le domaine du point
l44 CHAPITRE IV. — ÉTUDE SPÉCIALE DES NOTATIONS DE JACOBI.
« = 0, on a
sn on aura
r— = — ; 4- fonction régulière,
D désignant une constante que nous allons déterminer. Auparavant, nous changerons dans la formule (19) m en m 4- iK!, en nous rappelant les relations suivantes
sn(w-+- iK')= -7 ,
dont la seconde donne, en prenant les dérivées logarithmiques,
Z'(u-¥-iK') =
du S(u)
D'après cela, la relation (19) devient, par changement de u en u 4- i¥Jy
aw 6(w)
Faisant, dans cette dernière formule, u = o et remarquant que («y(o)= o, car S(u) est paire, on a
D'où les deux formules
/i-2 sn2 M = ; — ^; / H ^ — - .
On en déduit par l'intégration
r du 7, , , e"(o)
; — ;— =— Z(w) -I- W-— — -^-hconst., A2 / sn2wrfw = — -—4- H- w— f h const.
EXERCICES SUR LE CHAPITRE IV. l4^
Remarque. — La première des formules (20) peut se déduire aussi comme cas limite de la formule (18). Il suffit pour cela de diviser les deux membres de cette formule par 2 a et de faire tendre a vers zéro.
101. Notations d'Abel. — Dans son premier Mémoire, Abel a désigné par cp, y, F les fonctions sn, en, dn. Plus tard, il a employé la lettre \ pour la fonction sn. Cette notation a été adoptée par Briot et Bouquet, qui désignent les trois fonctions sn, en, dn parX, [X, V.
sna = X(w), cna = [x(a), dnw = v(w).
1. Démontrer les formules suivantes, qui sont des conséquences des formules d'additions :
, , , , ^ 2 snacnô dnô
sn(a-H6)-h sn(a — 6)= j- — -r,
I / i.\ / i.\ icnacnb
(i) / cn(a -+- 6) -hcn(a — 6) = j-; — i ^t»
^ ' \ ^ ' ^ ^ \ — k^ sn2asn2 6
j / z-\ j / ts adnadnô
dn(a + 6)H-dn(a — 6) = j-. — ; ^-j-,
^ ^ I — Ar^sn^asu^ô
/ Ax / u\ sn2a — sn^ô
sn(a-h6) sn(a — 6) = rr — r ^,
^ ' ^ I — A:*sn2asn2 6
/ / fx / iLx » dn^adu^ô — Â:'*
(2) / cn(a-i-6)cn(a — 6)= -T^T 7- — -7,
^ ^ \ ' k^ i — A:*sn*asn2 6
dn(a4-6)dn(a — 6) = j- — -=-.
^ ^ ^ ^ I — X:2sn*a sn^ô
/ tx / t.\ / /.\ / /.\ asnacnadnô
(3) sn(a-h6)cn(a — 6)-h sn(a — 6)cn(a-t- 6) = y- — -j-.
^ ' ^ ^ ^ I — A-îsn«asn»6
dn(a — b) — en (a — h) dnacné — cnadn6
sn(a — b) sna-hsnô
(4) ^ ' i-t-dn(a — 6) snacnô -h snô cna
ksn{a — b) ~" dn6 — dna
l46 EXERCICES SUR LE CHAPITRE IV.
S. Duplication de rargument. — Faisant v = u dans les formules d'addition et écrivant s, c^ d k la place de sn Uj en u, dn u, il vient
2SCd
snaw = T-r-t'
i-2A:2 5»-4-Â:»5* Â:'2 — 2 A:'2 rf« -4- ff*
En posant S ='sn2a, G = en 2 m, D = dn2a, ces formules s'écrivent
.i-+-C~"c2"' I -h D ~ d^ ' Dh-C c^d*'
Dh-G k^ i-D I -f- D ~" X:» D — G
I-+-G " D — G •••• Faisons w = -K, alors S = i, G = o, D = X:'; donc
K / I K . / k' K rrr
sn — = 1 / T/ ' en — = 4 / j-, , dn — = v^A: •
