Vérifier que Ton a

— k I snudu = Log(dnw -+- kcnu).

Montrer qu'on peut de même déterminer les constantes a, b, a', b' de façon que

a I en u du = Log(sna + a' dnw), b I dnudu= Log(cn u-^ b' sn u).

Il suffit de différentier et d'identifier.

EXERCICES SUR LE CHAPITRE IV. l47

o. Un cas particulier des surfaces minima. — Un exercice intéressant pour appliquer la différentiation des fonctions elliptiques consiste à vérifier que la surface découverte par Schwarz (Gesammelte mathematische Abhandlungeriy vol. I, p. 77)

cnx -h cny ■+- cn^ -+- cna? cny cnz = o,

avec le module k= -> est une surface minimum dont la courbure totale

en chaque point est nulle, satisfaisant, par conséquent, à la condition

(i -f- q^)r — ipqs -f- (i -\-p^)t = o,

/?, q^ r, 5, t ayant leurs significations ordinaires de dérivées partielles de z par rapport à x, y. Schwarz montre que cette condition équivaut à la suivante

j^;^^ (. + g')r-2py. + (,+/,')< ^ , /gX dY\ ^.

Pi p2 \-^p^-^q^ y r ^ ^^^ ^^ j î

pi et p2 sont les rayons de courbure principaux de la surface, et Ton pose

Le lecteur trouvera le détail du calcul de vérification dans l'Ouvrage de Greenhill sur les Fonctions elliptiques, p. 35; Carré, iSgS.