Argument réeL — Considérons d*abord la fonction

z = sna = —-=. -jr~ — -•

Quand u varie en restant réel de o à K, >s est réel puisque, dans les développements en série trigouomé trique de H(tt) et 0(ii), tout est réel; dans cet intervalle z varie d^une manière continoe, puisque 0(w) a pour racines 2mR-+- (2/1 -h i)«K'. De plus, la

dérivée

dz

-r- = cna dna du

garde un signe constant, puisque les fonctions H|(i£), 0|(ic),

ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE SÏÏU, CnUy (In U. l49

S{u) ne s^aanulent pour aucune valeur comprise entre o et K; cette dérivée est égale à i pour m =i o ; donc elle est constamment positive entre o et K. La fonction snu est croissante : elle est nulle pour m = o et égale à i pour u = K.

De la variation de sn u, on déduit celle de cn^ et dnu, quand u varie de o à K. En effet

cnw = v^j — sn*a varie de i à o, et

dn w = v^i — k^ sn* u varie de i k k'.

On conclut de là les variations des trois fonctions dans tout in-

tervalie réel en se rappelant que snu est impaire, que cnw et dnu

sont paires, et que Ton a

sn ( M -+- 2 K) = — sn a, cn(M -i- 2K) = — cnw, dn(w-l-2K)= dna.