Argument de la forme p + iK', p réel. — L'égalité

sn(vH-iK') =

A: snp donne immédiatement la variation de snw quand

et que i^ varie de o à R. Comme snç' croît de o à i, sn(ç' + îK!)

décroît de 4- 00 à 7 •

Les fonctions

cnM = v/i — sn^M, dnw = v/i — k^sn^u

sont purement imaginaires pour ces valeurs de u,

105. Argtunent purement imaginaire. — Les séries trigonométriques définissant H, 0, H<, 0< montrent immédiatement que, u étant réel, îi(iu) est purement imaginaire; S{iu), HiÇiu) et Si(iu) sont réels. Donc, sniu est purement imaginaire; cniu et dniu sont réels.

l5o CHAPITRE V.

Pour étudier les variations de ces fonctions et mettre ces propriétés en évidence, nous nous servirons des formules du n® 80, relatives à rechange de K et K'.

Ces formules permettent de ramener les fonctions snew, en iu^ dn iu<f construites avec les périodes 2K et 2eK', à d'autres fonctions snw, cnw, dnuy construites avec les périodes 2K' et 2/R.

On a par définition

Hi(o) 6(w) "1(0) Q{u)

Transformons sn iu en nous servant des formules suivantes démontrées n** 80

e *KK'H(m|K, iK') = XiH{u\K', ÎK), e *'iK'e(m|K, iK') = A Hi(m|K', iK);

nous avons d'abord

H(m|K, JK') . BXu\K^j^JK) e{iu\K,iK') ""^Hi(m|K', iK)'

puis, d'une manière analogue,

ei(o|K, iK') ei(o|KS JK) Hi(o|K, iK') ■" e(olK', iK)'

et nous déduisons de là

mir/7/iK /K.x/!iîMiij i?9

en désignant par sn(w]K, iK') la fonction snw construite avec les périodes 2K et 2«K' et par sn(w|K', iK) celle qui s'en déduit en échangeant K et K'.

En raisonnant de même et en employant des notations analogues on démontrerait les deux autres formules

cn(m|K, îK') = -^r-, — 777-,

^ ' ' ^ cn(M|K', iK)

dn(m|K,iK)-^^^^— j^^-^.

Ainsi, quand u est réel, la fonction sniu prend des valeurs

ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE SUUj CUU, duu. l5l

purement imaginaires, tandis que en iu et dniu sont réels. Il serait facile de suivre les variations de ces dernières fonctions : il suffirait pour cela d'étudier leurs variations quand u varie de o à K'. Ainsi la fonction cn(w|K', «K) varie de i à o, d'après ce qu'on a vu pour les arguments réels; donc cn(/tt|K, iK!) croît de i à +00.

106. Argument de la forme K h- iu, u réel. — Prenons maintenant un argument de la forme K-hm en supposant que u est réel et croît de o à K. On a d'abord

. cn(m)

sn(K-hm) = , ; . \ ;

puis, en se servant des formules précédentes et mettant les périodes en évidence, on trouve

sn(K-4-m|K, iK') =

dn(w|K', iK)

La fonction est donc réelle et varie d'une manière continue quand u varie de o à K', c'est-à-dire de o à la demi-période réelle de la fonction dn qui figure au dénominateur. Appelons pour un instant kt le module des fonctions elliptiques sn(M|K', e'K), cn(M|K', t'K), dn(u\K.\ iK) : nous avons vu que, quand u varie de o à la demi-période réelle K', sn(M|K', t'K) croît de o à i,

dn(M|K', t'K) décroît constamment de i à ^i — k\. Donc, quand u croît de o à K', la fonction

sn(K-f-mlK, tK')

croît constamment de 1 à ,

^i-kl

On peut trouver directement les valeurs extrêmes de la fonction : pour u = o, elle est égale à i puisque snK = i; quand

u = K', elle devient égale à 7 > comme le montre la formule

sn(P + .-K')=^

snp

dans laquelle on fait ç; = K. On doit donc avoir

v/i-itf

ki = /i — ^2 = /:'.

Le module des fonctions nouvelles sn(i/|K', iK), — est donc k'.

107. Résnmé. — Les résultats précédents peuvent se résumer ainsi. Soient Ox, Oy deux axes rectangulaires : prenons sur Ox OA= K, sur O^, OB = K' et soit C le quatrième sommet du rectangle construit sur OA et sur OB.

Lorsque le point dont Taffixe est ;/ décrit successivement les

côtés OA, AG, CB, la valeur de snu varie de o à i, de i à -r > puis de -: à -j- 00

snu

On formerait de même pour cne^ et dnu les Tableaux suivants, en supposant toujours que le point mobile parcourt les côtés du rectangle OACB :

cni/.. . .

dnu.. . .

Fig. 7.