Expression des périodes par des intégrales définies

fonction

-3 = sn u

— La

satisfait à l'équation différentielle

qui peut s'écrire

-— = en u dnu,

du =

ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE SDU, cn£^, dnu. l53

Quand u varie de o à K, 5 est réel et croît constamment de o à I (n** 103) ; on a donc

D'autre part, si l'on pose

et si l'on fait varier ^ de o à K', sn^^ croît constamment de o à ^;

, 1 le

on en déduit

'^ dz

Or, en faisant le changement de variable

l'intégrale devient

K' est donc déterminé par l'égalité

On voit que K' est défini à l'aide du module complémentaire k' comme K est défini à l'aide du module k; par suite, quand on remplace k par /r , on échange par là même K et K'. C'est, sous une autre forme, le résultat que nous avons déjà trouvé, quand nous ayons vu que le module des fonctions sn(w|K', tK), . . . est égal à k".

109. Relations entre K, K' et k. — Les deux quantités K et K', exprimées sous forme d'intégrales définies

où

l54 CHAPITRE V.

apparaissent comme des fonctions de la seule quantité k. Elles sont donc liées par une relation et ne sont pas indépendantes. Cette relation est celle que Ton a établie, entre K et K', pour rendre le multiplicateur

^ = lim , pour a = o,

égal à I . Cette relation peu t s'écrire (n" 92)

Ainsi les fonctions K et K' de A", définies par les relations (i), vérifient cette relation.

Les fonctions sn, en, dn, construites avec K et «K', sont donc déterminées dès qu'on connaît k. Aussi, au lieu de les écrire sn(w|K, t'K'), les écrit-on plus simplement sn(w, k), en (m, A"), dn(w, k). Par le changement de k en k\ K et K' s'échangent.

Les fonctions sn(M|K', tK), ... s'écriront donc sn(M, A*'), cn(;^, k')j dn(z^, k'). Avec ces notations, les formules établies plus haut pour l'argument purement imaginaire s'écrivent

. .sn(w, k')

sn(ia, k) = i — jj{,

cn(w, k)

en (m, k)= — J-7-J

^ ' ^ cn(a, k')

dn(w, k')

dn(m, /') =

en (a, k' )

Par exemple, si l'on se place dans un cas de dégénérescence (n® 96), A* = o, on a A'= I , et la deuxième formule donne

çii j fi— Il eos iu = —

Le module k peut prendre une valeur réelle quelconque comprise entre o et i. En effet, dans la théorie que nous venons de développer, nous avons vu que, les deux quantités réelles et positives K et K' étant choisies de façon à vérifier l'équation (2), le multiplicateur est égal à i, et le module k donné par

ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE STiU, Cnu, duu, l55

nous avons démontré ensuite que le module complémentaire A' s^obtieut en permutant K et K', ce qui donne

qo=e ^.

Quand le rapport j^, est nul, q = o, A* = o ; quand ce rapport

est infini, qQZ= o^ A''= o, A = i. Donc, le rapport tt-, variant de o

à 00, A" varie de o à i ; il passe par toutes les valeurs inférieures à i . D'après la théorie que nous avons développée, les déterminations de K et K' qui font acquérir à k une de ces valeurs sont données parles intégrales définies (i).

110. Inversion. — Supposons que, k étant un nombre moindre que I, on ait trouvé entre u et z une relation de la forme

(3) u=r—===jL==.

On calculera les demi-périodes K et i¥J par les intégrales définies (i). On construira ensuite les fonctions H, 0, H|, 0, , sn(w. A"), cn(w. A:), dn(M, k) correspondantes, et l'on aura

M = argsn5, z = sn a,

v/i — z* = en u, /i — k^z^ = dn u.

On aura ainsi réalisé ce qu'on appelle V inversion de l' intégrale (3).

111. Expression de K par une série hypergéométrique. — Dans la formule qui défiait K par une intégrale définie, faisons 5 = sincp : on aura

K= r\i--A2sin2cp)"2e;cp.

Développons, par la formule du binôme, la quantité sous le

l56 CHAPITRE V.

signe d'intégration

ll = w

(.-A-.si„.,)-i=,+ 2 '.:;:6"L' ^"'-"'"'p-

D'après une formule due à Wallis et facile à vérifier, on a

Jr* ' m^ 1 T^ 1.3.5. ..271 î

Donc enfin

K=;r,^(i)^»..(i4yA>+...+ C-^f;-^"-')^.>.+...i.

La série ainsi obtenue est un cas particulier de la série hypergéométrique de Gauss

On a, en eflet,

K=ÎF('i,i,,./tA.

1 12. Valeurs réelles de pi^, dans le cas où o) et -^r sont réels, rattachées à celles de sn^u. — Supposons que la fonction pu soit construite avec deux périodes 2 w et 2 w' telles que w et -^ soient réels.

Nous avons étudié ce cas en détail. Nous pouvons, à titre d'exercice, rattacher les résultats que nous avons obtenus à ceux du présent paragraphe, en nous servant de la relation entre les fonctions p et sn. Nous avons trouvé en général

avec

î-hk^ I

2KX — 20), 2/K'X — 20)',

ei — Ci ei — es ^i — e^

Dans le cas actuel, le polynôme

ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE SïlU, cnu^ dnu, l5y

a ses racines réelles ^ le discriminant

est positif. De plus, ei > e2> e^. Alors \^>o\ la valeur de k'^ est réelle et comprise entre o et 1; les périodes 2K et 2tK' de la fonction sn^w sont, la première réelle, la seconde purement imaginaire. D'après cela quand u est réel, pu est évidemment réel. Nous avons vu (n° 54) que, l'argument u étant purement imaginaire, pu est encore réel; cela résulte de la formule

Nous allons vérifier cette formule en nous servant de l'égalité qui ramène p;/ à la fonction sn^ u. Cherchons l'expression de

Quand on change ^3 en — ^3, dans l'équation

on change les signes des trois racines Ci, ^o» ^3 ou, en précisant, si ^1, 62, ^3 sont les racines de l'équation précédente rangées par ordre de grandeur décroissante, les racines de l'équation

rangées aussi par ordre de grandeur décroissante, seront

le carré du module de p(w, g2 — ^3) est égal à

e\ — 63 ■" ei — 63*

On voit que c'est le carré du complément du module de la fonction p{u\ g^f gz)\ le multiplicateur de p{u\ g2^ — gd) est

X'2 = - î = î = Xî •

il est le même que pour la fonction p{u; g2j gz)*

En résumé, changer gz en — g^ revient à changer k en A^, et

l58 CHAPITRE V.

Ton a

et la formule à vérifier

équivaut à celle-ci

3X« Xî ^/iu ,\ 3X2 X»

/iu ,\ 3X2 X» /u ,,\

ou, en teuant compte de la relation k^ -\- k'^=^i et en posant ■> ^ ^

TT =h

sn*(iV, A') sn2(p, A')

or cette égalité résulte immédiatement de la formule suivante, démontrée au n° 105

i sn(p, k')

sn{iç,k) =

cn(p, A:')

Variation des valeurs réelles de pu. — Partons de la formule

Quand y croît de o à K, sny croît de o à i; en même temps u croît de o k to ei pu décroît de + 00 à ^i .

Si Ton pose y == K + ^^ et si l'on fait varier ^ de o à K', sn^ y

varie de 1 à 7^ = — ; en même temps, on a

k^ 62— ez' ^ '

ti croissant par valeurs réelles de o à to', pu va constamment en décroissant depuis e^ jusqu'à €2»

Si l'on pose y = /K'+ t et si l'on fait croître ^ de o à K, sn^ y

décroît de 00 à jt; en même temps, on a

u z= ui' -\- t[;

ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE SOI/, cnUf dnu. iSq

ti croissant par valeurs réelles de o à w, pw croît constamment de €3 a ^2»

Enfin posons u = itj faisons croître f de o à -?- et servons-nous de la formule

Les périodes de la fonction écrite au second membre sont — ret 2«a), puisqu'en changeant le signe de g^ on change k en //, par suite K en K', par suite o) et w' en — et «o). D'après cela, quand t

varie de o à —* nous sommes dans un cas déjà étudié ; p(w ; g2y — ^'a) décroît de l'infini à la plus grande des racines de l'équation

c'est-à-dire — 63. Ainsi, t variant de o k-rt p(t; g2j — ^3) décroît

de -hoo à — 63 et par suite p(?/; g2i gz) croît de — 00 à ^3. En résumé :

I** Quand u croît par valeurs réelles de o à w, p^^ décroît de 4-ooà6i;

2® Quand on a i^ = w H- it et que t croît par valeurs réelles

de o à -:-^ pw décroît de e^ à 62;

3** Quand on a w = a)'+^ et que t croît par valeurs réelles de o à (1), p^ croît de ^3 à ^2 ;

4** Quand on a M = it et que t croît par valeurs réelles de o

a -r> pw croit de — 00 à ^3.

Cette discussion a été résumée au n** 57. Nous pouvons d'abord en tirer cette conclusion que pu passe par toute valeur réelle. D'ailleurs l'équation

n'a que deux racines dans un parallélogramme des périodes, puisque le premier membre est une fonction doublement périodique admettant zéro comme pôle double et n'admettant pas d'autres pôles dans un parallélogramme des périodes qui contient

l6o CHAPITRE V.

zéro. Les deux racines sont évidemmenl, à des multiples près des périodes, égales à -+- ^ et — v.

Nous avons ainsi déiini toutes les valeurs de u pour lesquelles la fonction pu est réelle.

Etude de la dérii^ée pour les valeurs qui rendent la fonction réelle. — D'après l'équation

la dérivée p'w est réelle quand pe/ est supérieure à et ou comprise entre ^2 et e^] elle est purement imaginaire dans les autres cas. Voyons, avec plus de détails, comment se comporte la dérivée dans les cas examinés dans le paragraphe précédent :

i" Quand u croît de o kdy^pu décroît constamment; la dérivée est réelle et négative ;

2** Quand on a // = to -h it et que t croît de o à -:-, pu décroît constamment, p* u est purement imaginaire, la dérivée de pu par

rapport à t est négative; cette dérivée est ip'u, ainsi ^-r- est

positive;

3" Quand on a w = to'-h / et que t croît de o k ta, pu croît constamment, p' u est réelle et positive.

Dans chacun des cas précédents on a examiné seulement un intervalle correspondant à une demi-période. En se servant de ce que la fonction pu est paire et admet les périodes 2(o, 2(o\ on vérifiera sans peine le résultat suivant, se rapportant aux cas où p u est réelle :

La dérivée change de signe quand la partie réelle de u passe par un multiple de o) ou quand le coefficient de i passe par un

multiple de — .