Équations de la biquadratique. — La courbe définie par

les équations

X = snuj

(1) \ y = cnw,

5 = dn w,

ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE Sni^, CïiU, dnu. l6l

dans lesquelles u désigne un paramètre variable, est l'intersection de deux surfaces du second degré, puisque l'on a entre x^ y, z les deux relations

et, d'autre part, on peut toujours, par une transformation homographique, ramener à cette forme les équations d'une biquadratîque gauche. Nous allons indiquer les propriétés les plus simples de cette courbe, en nous servant de la représentation paramétrique précédente.

Pour tous les raisonnements qui suivent, il importe de faire choix d'un système de périodes qui appartiennent à la fois aux trois fonctions sn^^, en 2/, dnu. Or ces trois fonctions admettent toutes les trois les deux périodes 4K- et ^îK!. Envisagées à ce point de vue, ce sont des fonctions elliptiques que l'on pourrait exprimer rationnellement à l'aide de la fonction p(m|2K, 2tK'), construite avec ces mêmes périodes, et de la dérivée de cette fonction.

Soit P un parallélogramme des périodes 4K et ^îK! construit sur les deux périodes communes à snw, cnw, dnw. Nous allons montrer d'abord qu'à chaque point M de la biquadratique, les relations (i) font correspondre une seule valeur de u dans le parallélogramme P. En effet, coupons la biquadratique par un plan

X = xi;

nous obtiendrons quatre points Mi, M2, M3, M4, en associant à X = x^^ les quatre systèmes de valeurs

y =zh^i — xl, z=zh^j — k^x\.

D'autre part, l'équation x = Xi donne

snu — a7i = o,

la fonction elliptique snu — Xi ayant dans le parallélogramme P des périodes 4K. et ^iK! quatre pôles simples, à savoir les pôles de sn«, y possède quatre zéros W|, U2, M3, W4. Si l'on prend successivement ces quatre valeurs de u^ à chacune d'elles correspond un point de la courbe dans le plan x =: Xi. On obtient ainsi d'une autre manière les quatre points M|, M2, M3, M4. Si alors on fait

l6î CHAPITRE V.

choix d'un de ces points, le point M^, par exemple, il lui correspond dans le parallélogramme P une seule valeur de w, la valeur u=Ui, Donc à un point M| de la biquadratique correspond, dans P, une seule valeur u^ de u : dans le plan tout entier sur lequel on figure la variable ;/, il correspond au point M^ une infinité de valeurs de u données par la formule

u = Ml -f- ^mK-\- iniK',

m et n entiers. On a donc une représentation paramétrique parfaite de la courbe.

Remarque, — Si Ton se donne la valeur de ^, ^ = ^4, et si Ton appelle u^ l'une des racines de l'équation snu — ^4 == o dans P, les autres «2» ^3, u^ sont données par

siiM — snai = o; elles sont homologues des points

lK — Ui, 2lK'-4-Mi, 2K-f-2tK' — Ml.

114. Forme de la courbe. — On aperçoit immédiatement la forme de la courbe, en remarquant qu'elle est symétrique par rapport aux plans de coordonnées, et qu'elle se projette sur xOy suivant un cercle, sur xOz suivant une ellipse, swvyOz suivant une hyperbole.

Mais voyons comment il faut faire varier l'argument pour obtenir tous les points réels de la courbe ; x et j^ étant supposés réels, la relation

montre que chacune des quantités sn^ w, cn^ u est plus petite que i et l'on en conclut que u est réel, à des multiples près des quantités 2K et 21R'.

Les formules relatives à la périodicité des fonctions sn, en, dn font voir que les points u el u-{- 2 K sont symétriques par rapport à Taxe O^; les points uei u -\- liK! sont symétriques par rapport à Taxe O^.

Il suffit donc déjà de faire varier w de o à 2R. De plus les for-

ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE snz^, cnu, dïïU. l63

mules

sn(2K — u)= snM,

cn(2K — u)= — cm/,

dn(2K — u)= dnu

montrent que les points u et 2K — u sont symétriques par rapport au plan des zx. Nous ferons donc varier u seulement depuis o jusqu'à K. Nous obtenons ainsi un are BA de la courbe situé audessus du plan des xj^y allant d'un sommet situé dans le plan desyz à un sommet situé dans le plan des zx. Il reste ensuite à compléter la courbe en se servant des symétries indiquées.

115. Condition pour que quatre points de la courbe soient dans un môme plan. — L'équation que détermine les paramètres des points d'intersection de la courbe avec le plan

A x -h By -+- G 2 -i- D =0 est

(2) A sn?« -h B cnw-f- G dnz^ -4- D = o.

Le premier membre est une fonction doublement périodique aux périodes 4K. et 4iK' admettant dans un parallélogramme des périodes quatre infinis qui sont les zéros de ©(w), par exemple les

points

iK', iK'-f-2K, -iK', — /K'-hîK.

La fonction (2) a donc dans un parallélogramme quatre zéros M|, W2î Wsî ^4 correspondant aux quatre points d'intersection du plan avec la courbe. La somme des zéros ne diffère de la somme des infinis que par des multiples des périodes 4K et ^iK! : on a donc

(3) Ui-h U2-h Ui-^ U!t= imK-h iniK',

m et n entiers. Cette condition nécessaire pour que quatre points soient dans un plan est suffisante. On le voit comme pour trois points en ligne droite sur une cubique plane (n® 59).

Plans bitangents menés par une tangente donnée. — Soit U\ le paramètre du point de contact Mj de la tangente donnée et u le

l64 CHAPITRE V.

paramètre du deuxième point de contact M, on a

2 M H- 2 Ml = 4 /^ K H- 4 'li'K', M = — Ui-h 2 /n K + 2 711 K'.

Comme deux valeurs de ii qui ne diffèrent que par des multiples de 4 K et 4 « K' donnent le même point, il suffit de donner à chacun des nombres entiers m et n les valeurs o et i et, par suite de considérer quatre valeurs de u, savoir

— Wi, — aj-i-2K, — Mi-1-2«K', — Mi-f- 2K -f- 2lK'.

Il y a donc quatre plans bitangents qui passent par la tangente en Mi ; les points de contact sont les symétriques du point M| par rapport aux trois plans de coordonnées et par rapport à l'origine. On voit de plus que les quatre plans bitangents menés par la tangente en M^ sont les plans tangents aux quatre cônes du second ordre passant parlabiquadratique (trois de ces cônes se réduisent ici à des cylindres).

Il est facile de déduire de là que le rapport anharmonique des quatre plans bitangents menés par la tangente en M| reste fixe quand le point Mi se déplace sur la courbe. En effet, les équations des quatre cônes sont

Les équations des plans tangents au point M| sont de la forme

le rapport anharmonique de ces quatre plans est égal à k^. Il est constant et l'on voit que sa valeur donne le carré du module des fonctions elliptiques qui ont servi à la représentation paramétrique.

Si Ton prend la perspective de la biquadratique, le point de vue étant au point M| de la courbe, on obtient une cubique qui passe par la trace îUt de la tangente en M| ; les plans que Ton peut

ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE SïiU, Cnu, dïiU, l65

mener par cette taDgente et les tangentes à la courbe de l'espace ont pour traces les tangentes à la cubique menées par le point m |. D'où ce théorème :

D'un point pris sur une cubique on peut encore mener quatre tangentes à la cubique et le rapport anharmonique de ces quatre tangentes est constant.

Points de rencontre de deux tangentes à la biquadratique, — D'après ce que nous venons de voir, si deux tangentes sont dans un même plan et ne sont pas parallèles, leur point de rencontre est situé dans l'un des plans de coordonnées. Pour avoir le lieu de ceux de ces points qui sont situés dans le plan a: = o, par exemple, il suffit de chercher la courbe décrite dans ce plan par la trace de la tangente en un point variable de la biquadratique. On trouve sans peine que ce lieu peut être représenté par les équations

*^ CD w dnw

et qu'il est du quatrième degré.

Cette ligne et les lignes analogues situées dans les autres plans de coordonnées et le plan de l'infini sont les lignes doubles de la surface du huitième ordre engendrée par les tangentes à la biquadratique.

\ 16. Plans osculateurs menés à la courbe par un point de la courbe. — Supposons que trois des quatre points d'intersection de la courbe avec un plan soient confondus. La relation entre lesparamètres de ces quatre points devient

ou bien

w=--y -4- —iK-hj/iiK'.

Il suffit de donner à chacun des nombres entiers m et n les valeurs o, I, 2. Il y a donc neuf plans osculateurs menés à la courbe, par le point Mi, Quand on projette la courbe, le point de vue étant en Mi, les traces de ces plans deviennent les tangentes d'inflexion de la cubique.

l66 CHAPITRE y.

Plans surosculateurs. — SI les quatre points d'intersection de la courbe avec un plan viennenl se confondre, la relation entre les paramètres de ces quatre points devient

4 w = 4 m K -4- 4 wt K' ou bien

u = mK-\- niK' ,

Chacun des entiers m cl n pouvant prendre quatre valeurs o, i, 2, 3, on trouve i6 points. Ces points sont les sommets de la courbe : un des plans correspondants est la limite d'un plan bitangent dont les deux points de contact sont venus se confondre.

117. Détermination des surfaces du second ordre passant par la biquadratique. — Considérons une corde joignant deux points quelconques Mi, M2 de la biquadratique; il existe une surface du second ordre S passant par la courbe gauche et admettant M1M2 comme génératrice rectiligne. Si l'on mène un plan par la corde MiM2 et si M'^, Mg sont les deux nouveaux points d'intersection de la courbe par ce plan, la droite M'^ M'^ est une génératrice de la surface S et une génératrice du second système, en appelant premier système celui auquel appartient la droite MiM2. En tenant compte de la relation qui exprime que les quatre points Ml, M2, M',, Mj sont dans un même plan

Ui-h U2-+- u[-\- u'^= ^mK-\- ^niK',

on voit qu'une génératrice (Tun système déterminé de S rencontre la biquadratique en deux points dont les arguments ont une somme constante,

La valeur de la constante change seulement de signe quand on passe d'un système de génératrices à l'autre pour une même surface du second ordre; elle est égale à une demi-période o, 2K, 2/K^, ou 2R+2i:R' quand la surface est l'un des quatre cônes du second ordre qui passent par la biquadratique.

Comme application, nous allons considérer des polygones dont les côtés sont des génératrices d'une surface S passant par la biquadratique et dont les sommets sont sur la courbe, et nous chercherons la condition pour qu'un polygone ainsi défini se ferme.

Les arguments de deux sommets consécutifs sont liés par les

ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE SXïUj cnu, dnu. 167

relations suivantes, dont les deux formes correspondenl aux deux systèmes de génératrices,

Ml -4- Ui = G,

— (MîH- W3)=G,

le signe de congruence ^ signifiant que l'égalité a lieu à des multiples près des périodes 4K. et ^îK!, Si Ton veut, par exemple, avoir un quadrilatère, on exprimera que «5 ne diffère de M| que par des multiples des périodes 4^. et 4^^.'- En ajoutant membre à membre les équations précédentes on trouve

4G = 4/nK-4-4/îiK\

C doit être un quart de période. Les quadrilatères ne se ferment que si la surface considérée correspond à une telle détermination de G et ils se ferment toujours pour une surface ainsi définie.

Il résulte de ce qui précède qu'une surface du second ordre passant par la biquadratique est caractérisée par un argument elliptique défini au signe près.

118. Équation de la surface des ondes. — Cette surface peut être définie de la façon suivante. Étant donné un ellipsoïde qui, rapporté à trois axes rectangulaires, a pour équation

on le coupe par un plan variable passant par le centre

Ax -h By -r- Gz = o

et, sur la normale au plan menée parle centre, on porte à partir de ce point des longueurs égalbs aux axes de la section.

L'équation qui donne les longueurs des axes de la section est

l68 CHAPITRE V.

Pour l'un des points x^ j\ z correspondant au plan A, B, C on a de sorte que l'équalion de la surface est

a»ar« B«v« Y»5«

xt ~\- y'i -i^ z^ — a' x^-\-y^-\-z^ — P* x^-^y^-hz* — Y»

En chassant les dénominateurs et en supprimant le facteur

X'-\-y^-hz^ on obtient

La trace de la surface sur chacun des plans de coordonnées se décompose en deux coniques. Il est facile de le voir en se reportant à la définition géométrique des points du lieu. Si l'on coupe l'ellipsoïde par un plan tournant autour de l'un des axes, Oy par exemple, l'un des axes de la section est constamment égal à l'axe moyen p, l'autre est un diamètre de l'ellipse principale située dans le plan zOx. Les points correspondants du lieu sont dans le plan -sO^ et ils sont situés sur un cercle de centre O et de rayon ^ et sur l'ellipse que l'on obtient en faisant tourner d'un angle droit l'ellipse principale. La trace de la surface est donc représentée par l'ensemble des deux équations

on trouverait de même pour les autres traces

z = 0j (x^-^y^—-(^)(a.^x^-i- '^^y^—OL^^^) = o,

ir =0, (72|22 a2)(p2j2H^^2-2- p2-^2)=o.

Ceci conduit à mettre l'équation de la surface sous la forme

( {x^-hy^-hz^— p2)(a2a72-i- p2j^2^ ^2^2 ^2^2) ^^^ i -l-(p2-a2)(p2. ^2)^2 = 0.

C'est cette forme dont nous aurons surtout à nous servir. Il est évident que l'on aurait une forme analogue correspondant à chacun des autres plans de coordonnées.

ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE SUUj CUU^ dïlU. 169

119. Expression des coordonnées d'un point de la surface en fonction de deux paramètres elliptiques. — On peut exprimer les coordonnées d'un point variable de la surface en fonction de deux paramètres elliptiques au moyen des formules

X = ^sn(u, k)dn(v, l)^

y = X cn( w, k) cn((', /),

^ = a dn ( w, X: ) sn ( p, / ),

le module k des fonctions de l'argument u et le module / des fonctions de l'argument ç étant définis par les égalités

A-2=Ê!zi?^ k'2=tiLt Z2=?!l!z^' /'2=l!êlii^

Y*— aî^ ^2 a2' p2 y2__aï' p2^î a2'

OÙ l'on suppose

Nous écrirons les formules précédentes sous la forme abrégée

y = acci, Z = OL dsi ,

en attribuant l'indice i aux fonctions de l'argument v.

Vérifions d'abord que les valeurs de x^ y, z données par ces

égalités satisfont à Téquation de la surface quels que soient u et v. En élevant au carré les deux membres de chaque égalité et en

exprimant les fonctions elliptiques de chaque argument à l'aide

du sinus amplitude correspondant, on trouve successivement

a?2= ^2^2 ^llis^s\,

On en déduit

et comme on a posé

on voit que l'on a bien, quels que soient 5 et 5|,

120. Intervalles dans lesquels il suffit de faire varier la partie réelle et le coefficient de i de chacun des arguments pour avoir toute la surface. — Les trois fonctions sn;^, cni/, dn;^ admettent comme périodes 4^. et ^i¥J ] de même, les trois fonctions snç^, cnç^, àn\? admettent les périodes 4L el ^iU (en supposant que L et L' correspondent à / comme K et K' à A"). Mais les formules

sn(w-h2K)= — snw, dn(p -i- aiL') = — dni'.

cn(w-l- 2K) = — en w, cn(p -4- at'L') = — cnp, dn(M-l-2K)= dnw, sn(p-h2tL')= sni»,

montrent que les arguments

w H- 2 K, p H- 2 i\J donnent le même point que les arguments

Uy V.

On verrait de même que donnent le même point que