II, P
et l'on peut conclure de là qu'il suffit de faire varier la partie imaginaire de II entre deux valeurs différant de 21K' et la partie imaginaire de ^ entre deux valeurs différant de ii\J .
121 . Les lignes paramétriques sont orthogonales. — Les lignes obtenues en faisant varier un seul des paramètres u el v sont des biquadratiques {voir n^ 113). Nous allons démontrer que les deux familles de lignes ainsi définies sont orthogonales.
Les cosinus directeurs de la tangente sont proportionnels à x'^^ y^, z\^ pour un point de la ligne obtenue en faisant varier le paramètre u ; les quantités correspondantes sont proportionnelles à œ'^,, y'ç, ^[, pour l'autre ligne; nous avons donc à vérifier que l'on a,
ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE Sn l^, cnUy duu, 171
pour un système quelconque de valeurs de u et de ^,
a^'i* ^'f -H J^a7 w + -Sa -«l» = O •
Calculons ces dérivées :
arj^ = P cddi, Xç = — p l^ ssi Ci ,
y'u = — oisdci, yv = — ac^i ^ii
Dans chacun des produits x\x\^ y'uy'v'i ^u^vi ^^ trouve en
facteur
scdsi Cl diy
et l'égalité à vérifier se réduit à l'identité
évidente, si l'on se rappelle que l^^= gi^'^ (^^ 119).
122. Points singuliers. — Nous avons vu que la trace de la surface sur l'un des plans de coordonnées se décompose en deux coniques; les quatre points communs à ces deux coniques sont des points coniques de la surface. Considérons, en particulier, la trace sur le plan zOx. On doit avoir
^ = o, cnMcnp = o.
Pour en « = o, on a 5^ = i , et l'équation (n® 119),
x^-hy^-^z^— p2= (p2 a2)(52— l)
montre que les points correspondants du lieu sont les points du cercle
Pour en ç^ = o, on a 5j = I , et l'équation
OL^X^-h p2j^2^Y2^2 (,2^2=: a2(Y2— 32)(52__ ,)
montre que les points correspondants du lieu sont les points de l'ellipse
L'un des points d'intersection du cercle et de l'ellipse est donné
par les valeurs des paramètres u et i^ telles que l'on a à la fois
CDM = o, cni' = o.
Mais chacune des trois dérivées œ]^^ y^j z\ contient en facteur c ou C\ et il en est de même pour x'^^ y\^ z\. Donc, les développements dex, j^, ^, suivant les puissances des accroissements Ai/, A(^ donnés aux paramètres à partir du point considéré, commencent par des termes du second degré ; le point est point conique de la surface. On vérifie sans peine que ses coordonnées annulent les trois dérivées /^, /^', /,' du premier membre de l'équation de la surface.
Nous avons ainsi quatre points doubles réels dans le planzOx. On les obtient comme points du lieu lorsqu'on coupe l'ellipsoïde E f)ar un plan passant par l'axe moyen et donnant comme section un cercle.
Fig. 8.
On trouverait de même quatre points coniques de la surface dans chacun des autres plans de coordonnées et il résulte de la définition géométrique des points du lieu qu'il n'y a pas d'autres points coniques à distance finie. La forme de l'équation de la surface conduit à considérer comme points coniques les points à l'infini sur les quatre génératrices communes aux deux cônes
On a donc en tout seize points singuliers; quatre de ces points seulement sont réels : ce sont les quatre points coniques situés dans le plan zOy,
ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE Sn l^, Cnu, du U, 178
123. Plans tangents singuliers. — Un plan perpendiculaire à un plan principal, et dont la trace sur ce plan est une tangente commune aux deux coniques en lesquelles se décompose la section principale correspondante, est un plan tangent singulier : il louche la surface en une infinité de points situés sur un cercle. Considérons, en particulier, la trace de la surface sur le plan des xz
et cherchons d'abord les tangentes communes à ces deux coniques.
Si une droite
ux -\- wz -1-1 =
est tangente à chacune de ces coniques, on a
p2 w*-h p2tvî= I, Y^j^ï-t- a2tv»= I.
En résolvant ces deux équations, on obtient
32^2= î^; -, pu=±k,
Q2«;2=I- îL, ^w=±k',
• V* — flr* '
L'une de ces tangentes a donc pour équation
kx -\- k' z — 8 = 0.
Coupons la surface par le plan perpendiculaire à zO^ et ajant pour trace cette tangente commune. En remplaçant dans l'équation du plan ^ et ^ par leurs valeurs en fonction des paramètres elliptiques, nous avons, entre les paramètres d'un point de la section, la relation
k B sd^ -H A:' a ds^ — P = o,
et, comme on a At'ô ==^î cette relation peut s'écrire
ksdi -h Idsi — 1 = 0.
Pour vérifier que la ligne définie par cette relation est une conique comptée deux fois, nous allons la couper par une surface
ç = const.
174 CHAPITRE y.
et montrer que les points d'intersection sont deux à deux confondus. Les valeurs de 5 et de rf correspondant aux points d'intersection sont données par les deux équations
ksdx ■+- Idsi = 1 , A«5«4- rf« =1.
Or, l'équation du second degré qui donne les valeurs de 5 a ses deux racines égales ; tandis que si l'on avait coupé la surface par un plan quelconque parallèle à Oy, le même calcul aurait conduit à deux valeurs distinctes de s. Donc le plan
kx-\-k'z = p
coupe la surface suivant une conique comptée deux fois et, comme il n y a pas de ligne double sur la surface, il est tangent tout le long de cette conique.
On peut vérifier le résultat précédent au moyen d'un calcul plus symétrique, en formant une combinaison homogène des deux équations précédentes en s et rf, savoir
Cette équation donne les valeurs de -j- Or, en transformant le premier membre d'après l'identité
(A2-4- B2)(A'2-4- B'2) — (AB'-i- BA')2 = (AA'— BB')*,
on voit qu'il se réduit à
(klssi — dd^y,
et l'on retrouve que les points d'intersection sont deux à deux confondus. Mais on peut, en outre, déduire de ce calcul une forme de l'équation de la surface mettant en évidence les plans tangents singuliers perpendiculaires au plan zOx. Nous avons remarqué qu'on a l'identité
I — ( ksdi -+- dlsi )2 = {klssi — ddi )*,
en supposant s et d d'une part, Si et rf< d'autre part, liés par les relations
ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE Sn U, CJÏU, dnu. 1^5
Cette identité peut s'écrire
— (ksdi-^ dlsi — i)(ksdi'h dlsi-\- 1) = {klss^ — ddi)^, et, en y changeant Si en — 5|, on en déduit
— (ksdi — dlsi — i){ksdi — dlsi-^i) = (klssi-h ddt)^.
Multiplions membre à membre ces deux identités et désignons les parenthèses situées dans les premiers membres par y^, g2, Ç39 Ça9 nous obtenons la nouvelle identité
qiÇ2qiq,^{kU^S^sl--d^d\)\
qui peut encore s'écrire
çri^2y3^^=(X:2s2-f-/Î5Î — 1)2,
et qui donne la forme cherchée de l'équation de la surface ; il suffit d'y remplacer ^, d, 5|, rf< en fonction des coordonnées œ, y y z du point correspondant de la surface ;
q^ ^ ksdi -\- ls\d — i
devient
^2? 5^3) (Jk se transforment d'une façon analogue. D'autre part
devient (n® 119), en désignant par )^ et [x des constantes,
^{X, y, ^) = X2(a2iF2H- p2j2 4 -^2^2__a2p2)^ jj,.2(a;2 + ^2^22__a2)i^
et l'on obtient pour la surface l'équation
Cette équation montre d'abord que la section de la surface des ondes par le plan Q< = o est la conique section de la surface ç par le même plan, comptée deux fois. Cette conique est un cercle, car en cherchant les plans réels qui donnent des sections circulaires dans la surface îf , on trouve que ces plans sont parallèles aux deux plans
iy6 CHAPITBE V.
OU bien
(/.-x ■}- k's){/ix — k's) = o.
Nous avons trouvé quatre plans tangents singuliers correspondant au plan ^0:r; on en trouverait de même quatre autres correspondant aux deux uutres plans de coordonuées, et quatre autres qu'on peut déiinir comme les plans tangents communs aux deux cônes
a-'-(-j'i+ st= o, a*x'-t- p'y'-4- y'-5'= o.
On a ainsi seize plans tangents singuliers dont chacun touche la surface tout le long d'une conique.
i34. Forme de la surface. Distribution des Talenre des pantmètres. — La ^g. 8 { ' ) indique les sections de la surface par les trois plans de coordonnées. La surface se compose de deux nappes réunies par quatre points coniques et dont l'une est tout entière située à l'intérieur de l'autre.
Elle est représentée, en perspective, dans la Jlg. 9 : on a
Pig- 9-
ménagé une ouverture qui permet de voir la nappe intérieure.
ÉTCDE DES VALEURS RÉELLES DE snu, CD», dau. I77
On a représenté {^g. lo) le corps solide ou noyau qui serait le-
Fig. 10.
V^^^lgJfl^F
couvert par la nappe intérieure seule, et {fig. 1 1) la section de le surface par un plan passant par les quatre points coniques.
Cherchons entre quelles limites varient 5 et s,. D'après la relation
si nous coupons la surface par une sphère concentrique, tout le long de l'intersection s reste constant, x, y, s sont à des facteurs constants près égaux k d,, c,, s,', rinterseclion est une hiquadratique. Le carré du rayon de la sphère peut être représenté par
Pour que la sphère rencontre la surface, il faut que p' soil positif et compris entre a' et y' - ** doit donc être positif et compris entre o et-r;*
A. ET L. Il
Quand s^ varie de o à 1 , la bi quadratique formée de deux ovales séparées par le plan yOz décrit la nappe intérieure de la surface.
Quand s^ varie de i à r^ la biquadratique formée de deux ovales
séparées par le plan x Oy décrit la nappe extérieure. De même, d'après la relation
on voit que 5J varie entre o et ^^ A une valeur donnée de St
correspondent des points situés sur une biquadratique; quand s^ varie de o à i la biquadratique formée de deux ovales séparées
par xOy décrit la nappe intérieure; quand s] varie de i à y^ la
biquadratique formée de deux ovales séparées par yOz décrit la nappe extérieure.
On déduit aisément de ce qui précède le moyen de déterminer la nature des arguments qui correspondent à un point pris sur l'une des nappes de la surface et la position du chemin décrit par le point M d'arguments 11 et {?, quand on fait varier un seul de ces arguments.
Prenons, par exemple, un point Mq sur la nappe intérieure et dans le trièdre des coordonnées positives; l'un des systèmes d'arguments correspondants sera formé de deux valeurs réelles Uq, ^^q telles que Ton ait
o<wo<K, o<Po<L.
Nous avons déjà remarqué que le même point est donné par les valeurs
des arguments, et il est évident qu'on peut partir de Mo avec le système Uq, ^0 et revenir au même point avec le système (2K — Wo, 2L — Çq) ^^ faisant varier successivement un seul des arguments.
Voyons, en détail, comment se déplace le point M d'argument w, if, quand, u restant égal à Uq, v varie de Vq k 2L — Vq puis, quand, v restant égal à 2L — Vq, u varie de Uq à 2K — u^. Pour u = «Oî on a une biquadratique formée de deux ovales que sépare le plan des yz. Comme nous ne considérons que des va-
ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE Sni^^ cnu, dnu.
leurs positives de {?, le point M restera sur l'ovale de droite; soit Cv cette ovale. De même, pour (^ = (^o> o^i a une biquadratique formée de deux ovales séparées par le plan des xy. Le point M restera sur l'ovale située au-dessus de ce plan; soit C^ cette ovale. Cela posé, quand ç varie de Çq à L, puis de L à 2L — ç^o? le point M se déplace sur C», depuis Mq jusqu'au point le plus haut de l'ovale, traverse le plan des zx et vient en M'^, symétrique de Mo par rapport à ce plan. Quand ensuite u varie de Uq à K, puis de K à 2 K — Uo^le point M se déplace sur G^ depuis M'^, jusqu'au point de la courbe C^ située dans le plan ^0;r et dont l'^ est positive, traverse le plan ^O^ et revient en M© (fig» 12).
Fig. 12.
Remarquons encore que les points de G^ ofi la tangente est parallèle à Oy sont sur le cercle
ou plus exactement sur l'un des deux arcs de ce cercle qui appartiennent à la trace de la nappe intérieure; les points de C^ où la tangente est parallèle à Oy sont sur l'ellipse
ou mieux sur l'un des deux arcs de cette ellipse, qui appartiennent à la trace de la nappe intérieure.
Pour un point de la nappe extérieure l'un des systèmes de valeurs de w, s^ est de la forme
M = K -H ia\ i> = L H- ib',
a! et V étant réels ; l'autre système est alors formé des valeurs conjuguées
On verra, comme dans le cas précédent, comment on peut passer d'une manière continue du premier système au second.
Remarque. — Le fait qu'à un point donné correspondent deux systèmes distincts de valeurs de u et c, donne lieu à une complication analogue, d'une certaine façon, à celle qu'on rencontre dans l'étude des fonctions algébriques. La discussion précédente montre comment on pourrait faire disparaître, en partie, cette complication, en considérant la surface des ondes comme formée de deux feuillets réunis suivant des lignes joignant deux des points coniques. ,
ni. — Pendule simple. Élastique plane. Corde a sauter.
Mouvement a la Poinsot.
125. Pendule simple. — Quoique la théorie du pendule simple se déduise comme cas particulier de celle du pendule sphérique que nous avons traitée à l'aide des fonctions jd et a*, nous la reprenons ici à titre d'application des fonctions sn, en, dn.
Fig. i3.
Prenons un axe O^ vertical et dirigé vers le haut, l'origine étant au point de suspension du pendule, et supposons le mobile lancé du point le plus bas Mo(2= — t) avec une vitesse initiale p©;
ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE sn a, cnu, dnu. l8l
le théorème des forces vives donne
v^=2ff(a — z) avec a= — l-\ --•
1° Supposons d^abord que la droite 11(5 = a) coupe le cercle
en A, A', c'est-à-dire que l'on ait a -< /, ou ('o^C ^v/^* ^® mouvement consistera alors en oscillations isochrones entre A et A'. Prenons pour variable l'angle MoOM = 0. Nous avons
z— — /cosO, a = — /cosa,
en appelant a l'angle d'écart maximum MoOA. L'expression de la
vitesse est
ds Id^
dt dt et l'équation des forces vives devient
(/Tft \ 2 — - j =2^/(cos6 — cosa),
qu'on peut écrire d'où
s/]dt =
sin^ sin*-
Nous prendrons le signe -h en supposant que le mobile monte. En comptant le temps à partir du moment où le mobile part de Mo et en posant
sm- = Msin-j
on a
. /£ /*" du /a:»= i î-V
V ^ ^J^ /(i— w2)(i — A:2aî)' \ ^^^^ 2/
On est ainsi ramené à une intégrale elliptique et l'équation cidessus résolue par rapport à u peut s'écrire
l8a CHAPITRE V.
c'est-à-dire
cos
on obtient ainsi les coordonnées /sinQ et /cosO du mobile en fonction uniforme du temps.
Pour avoir le temps T que met le mobile à aller de Mo en A, il faut faire varier 8 de o à a, c'est-à-dire m de o à i ; donc, en posant
1 /(i-wî)(i-^»M«;
on aura pour T la valeur Ki/- et la durée de l'oscillation simple
sera aKi/-» Si l'on ajoute cette quantité à t, le mobile doit
prendre la position M' symétrique de M et sinO doit changer de signe, ce qui fournit une vérification de la formule
sii(a7-f- 2K) = — snx,
2° Il nous faut maintenant considérer le cas où la droite II ne rencontre pas le cercle, c'est-à-dire où l'on a a > /. L'équation des forces vives ç^=2g(a — z) peut s'écrire
(Jù \ 2 / A \
— j = 2^(a-l- /cosQ) = 2^(a-h / — 2/sin2 - j
ou
/2(jy = 2^(aH- 0(1-^2 sinîi)
en posant k^= j; k^ est plus petit que 1 puisque a est plus
grand que /. En résolvant par rapport à dt^ posant
et prenant u = sin - comme nouvelle variable, il vient
ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE SnUj CnUj dtiU. l83
d'où, en résolvant par rapport à w, c'est-à-dire en faisant l'inversion
On en déduit
u = sn(\t)j sin-=sn(X^).
cos- = /i — sn*(X^)= cn(X;).
Le temps T que met le mobile à arriver au point le plus haut s'obtient en faisant varier de o à ir, c'est-à-dire w de o à i ; il est
donc Y*
3** Il reste enfin à traiter le cas intermédiaire où la droite II serait tangente à la circonférence donnée : a = L On peut alors eflFectuer les intégrations à l'aide de fonctions exponentielles (cas de dégénérescence), car le module k des fonctions elliptiques précédentes devient égal à i . Revenons, en effet, à l'équation des forces vives s^^= 2g(a — z), nous l'écrirons
— \ =2^(/-h/cos6) = 4<r^cos2-,
et, en intégrant,
^< = logtang(J- + |).
La constante d'intégration est nulle puisque t doit s'annuler avec 0. Lorsque t croît indéfiniment, 8 tend en croissant vers la limite tc; le mobile s'approche indéfiniment du point le plus haut sans jamais l'atteindre. On a alors
sm - = -T-: TT 9 cos - =
gXf -i.. g— X^ 2 eX' -h e~X'
7^ étant
égal à y/f
Remarque sur t interprétation de la période imaginaire 2iK!. — Plaçons-nous, pour simplifier, dans le premier cas (i°), où le pendule oscille entre les points A et A'. Supposons que la pesanteur change de sens et que le pendule oscille sur l'arc supérieur A^A', entre les mêmes points A et A'. Pour avoir les for-
l84 CHAPITRE V.
mules relatives à ce nouveau mouvement, il suffît de changer, dans les formules du premier cas (i**), a en i: — a et, par suite, de
remplacer le module k = sin - par son complémentaire A''= cos- •
Les fonctions elliptiques qui donnent le nouveau mouvement sont donc construites avec le module complémentaire de k et, en
particulier, la durée de la nouvelle oscillation simple est aK'l/ — {Comptes rendus, t. LXXXVII, p. i074).
126. Élastique plane sans pression. — Nous avons déjà vu (n**68) que le problème de l'élastique gauche conduit aux mêmes équations que l'étude du mouvement d'un corps pesant de révolution, suspendu par un point de son axe.
En particulier, le problème de l'élastique plane sans pression conduit aux mêmes équations que l'étude du mouvement d'un pendule simple. C'est ce que nous allons montrer rapidement.
Imaginons une tige élastique dont la fîbre moyenne affecte à l'état naturel, la forme d'une courbe plane connue Go et soit po
Fig. 14.
la valeur du rayon de courbure en un point M de cette courbe. Supposons ensuite qu'on déforme la lige en faisant agir sur elle des forces quelconques, mais de telle façon que la fibre moyenne reste plane et prenne une nouvelle forme G. Le rayon de courbure en M devient alors p. Dans cette position d'équilibre contraint, les forces élastiques sont déterminées d'après les lois suivantes : Si l'on coupait la tige en M, pour maintenir l'équilibre il faudrait appliquer à la section en M une force T dans le plan de la courbe G et un couple dont l'axe est perpendiculaire à ce plan
ÉTUDE DBS VALEURS RÉELLES DE SnU, CnUy duu, l85
et dont le moment N est proportionnel à la variation de la cour-
bi I ure :
p Po
\P po/
B désignant un coefficient constant qui dépend de la nature de la tige.
Nous traiterons ici le cas simple où la tige est primitivement
rectiligne, — = o, et où l'on fait agir seulement sur ses extrémités M| et M2 deux forces T| et T2 situées dans le plan de la courbe d'équilibre et deux couples N| elN2 ayant leurs axes normaux à ce plan. Les deux forces T, et T2 sont égales et opposées, car les seules forces extérieures appliquées à la lige en équilibre étant les forces T, et T2 et les couples N| et N2, la somme des projections de ces forces sur un axe quelconque doit être nulle. Les forces T| et T2 forment alors un couple qui fait équilibre aux couples N| et N2.
Prenons pour axe Ox une droite parallèle à T| et T2. Soit M un point quelconque de la fibre moyenne : si la tige était coupée en M la partie M|M serait en équilibre sous Faction des forces extérieures suivantes : 1° la force T| et le couple N| agissant sur l'extrémité M^; 2° une force T et un couple N agissant sur M; le couple N a pour moment
puisque nous supposons — = o.
Ces forces extérieures appliquées à l'arc M|M se font équilibre. Donc, T est égal et opposé à T,. En outre, la somme des moments de toutes les forces extérieures, par rapport à un point du plan doit être nulle. En prenant la somme des moments par rapport à O, nous avons
B d'où, en remplaçant T par T| et N par - > une équation de la forme
l86 CHAPITRE V.
c^ désignant une constante positive et b une autre constante. On peut toujours déplacer Taxe des x parallèlement à lui-même de façon à faire disparaître cette dernière constante et à ramener ainsi Téquation de la courbe à la forme
Nous allons montrer que, lorsqu'un point décrit la courbe élastique avec une vitesse constante, la normale en ce point oscille comme un pendule autour de la perpendiculaire abaissée de ce point sur la ligne d'action des forces T, c'est-à-dire sur Oo? (* ).
Soit, en effet, 8 l'angle de la normale en M avec cette perpendiculaire; si le point mobile se déplace de ds la normale tourne de l'angle rfO et Ton a
ds p c* d'où, par différentiation,
— - -î- ^' -— 1 ine
ds^ ~~ c^ ds ~ c*
Si l'on pose - =zi/jt, on retrouve l'équation du mouvement pendulaire
= |;sine.
dt^ l
Pour intégrer l'équation (i), multiplions les deux membres par -r et intégrons ; il vient
(ji désignant une constante arbitraire. On a alors
y = — — c^-Y- — c/2(cosO -h ]x).
Trois cas sont à distinguer, correspondant aux trois cas rencontrés dans le pendule simple, suivant que (Ji est compris entre — I et -f- I , supérieur à i , ou égal à i .
(•) Comparer à Greenhill, Fonctions elliptiques.
ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE STiU, cnu^ dnu. 187
Premier cas. — Dans le premier cas on peut poser
(JL = — cosa.
L'angle varie de — a à +«; la courbure et l'ordonnée y s'annulent pour = a.
On a ainsi la forme de la courbe (Jig- 14? !)• Les points correspondant à = dza sont les points B et B'. Cette forme de courbe correspond au mouvement oscillatoire du pendule.
On a trouvé dans ce cas, pour le pendule,
sin- = k snM /—,
avec A' = sin-« On a donc actuellement par le même calcul, en faisant- = ^l/f'
sin - = A: sn - > cos - = an - > 1 c 2 c
- = - 4 / sm* sm' - = —
p cy 2 2 c
s en- >
r = — = 2 Arc en -
Calculons enfin x en fonction de 5, on a
—r = cos 6 = 1 — 2sin* - = i — 2k^sn^as 2 c
D'où, en intégrant de o à 5 et se rappelant la formule du n° 100
Deuxième cas, — Si l'on a [Ji > i, peut varier de o à 27r : j^ et - ne s'annulent jamais ; la courbe a la forme II de \^fig' i4'
l88 CHAPITRE V.
Ce cas correspond au mouvement révolulif du pendule. On achèverait le calcul comme dans le cas précédent, en employant les mêmes transformations que pour le mouvement révolutif du pendule simple.
Troisième cas. — Si [jl = i, on se trouve dans un cas de dégénérescence. On a alors
/£(?y= Acosî-,
\ds ) C* 2 '
as 2
cos -
-=Logtang(^- + -j
