O TZ
r = 2 c cos - = — : >
dx = cosô ds = {2 cos* i]ds = 2C cos ds,
X = 2C sin s = ic s.
La courbe est alors asymptote à l'axe O^, comme on le voit en faisant tendre vers db 7t, et s vers dz oo.
127. Corde à sauter. — Imaginons une corde homogène dont on tient les deux extrémités et qu'on fait tourner très vite autour de la droite joignant ces deux extrémités. On peut alors négliger l'action de la pesanteur sur les divers éléments de la corde et chercher la figure permanente que prend la corde dans son mouvement. Par rapport à un système d'axes tournant avec la corde, cette figure permanente est une position d'équilibre relatif. D'après la théorie de l'équilibre relatif, on doit exprimer qu'il y a équilibre entre les forces agissant réellement sur chaque élément de la corde et les forces centrifuges.
La force centrifuge agissant sur un élément de masse m est perpendiculaire à l'axe de rotation et répulsive; elle a pour inten-
ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE Snu, CnUf dnu, 189
site nHii^r, to désignant la vitesse angulaire constante de la rotation et r la distance de l'élément m à l'axe.
En prenant l'axe de rotation pour axe O^, on est donc ramené à un problème sur l'équilibre des fils que l'on peut énoncer ainsi :
Un fil est attaché en deux points de Vaxe Ox et chaque élément du fil est repoussé par Vaxe proportionnellement à sa longueur et à sa distance à Uaxe*
Toutes les forces qui agissent sur le fil rencontrant l'axe O^, le moment de la tension par rapport à cet axe est constant tout le long du fil; mais, comme le fil est attaché en deux points de l'axe, le moment de la tension aux extrémités est nul; ce moment est donc constamment nul et l'on a
— I dz dv\
d'où
dy dz
=0, r = mz,
m étant une constante. La figure d'équilibre est donc dans un plan passant par l'axe Ox. Prenons ce plan pour plan des xy, la force agissant sur l'élément ds est perpendiculaire à Oo?, répulsive et proportionnelle à l'ordonnée y
Y ds — [ly ds.
Les équations d'équilibre sont donc
la première donne T^ = A, où l'on peut toujours supposer A
positif en comptant les arcs s dans un sens tel que x croisse avec S] en portant cette valeur de T dans la deuxième équation et posant
^ = r' li--, ds - dxi/TT7'^= ^y^^^y'\
dx ^' A"a2' as-^axs/i^y - ^ ,
on a l'équation
y dy ^ '>ydy ^^
et en intégrant
sT^
b^ désignant une constante nécessairement positive puisque le premier membre est positif. Isolant le radical, élevant au carré et
remettant pour y sa valeur -^> on a
dx
dx =
a' dy
Gomme le fil est attaché à Taxe Oxy Téquation doit donner une valeur réelle pour y quand j^=:o, donc b^'^a^. En désignant par ^{y), le polynôme bicarré placé sous le radical, on a
j^ partant de zéro ne peut varier qu'entre — y/6' — a^ et 4-y/6* — a*. Construisons la courbe. Supposons que le fil soit attaché en O (Jig- i5) et qu'il soit situé dans l'angle yOx : alors x croît
Fig. I
dx
d'abord avec y^ -7- est positif, et l'on a
y croissant, j? croît, jusqu'à ce que y ■= \/b'^ — a'^] x atteint alors la valeur
^b* — ai
a^ dy ^
on a ainsi la branche 0A| ; la tangente en A| est horizontale. A partir de cette valeur, y décroît et, pour que x continue à croître,
il faut prendre le signe — devant ^f{y) : on a ainsi une nouvelle branche A| M| 0< symétrique de la première OMA< par rapport a
ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE sna, cnu, dnu, IQI
l'ordonnée A< B< , car à des variations égales de y correspondent des variations égales de x. Pour j^=o on obtient le point 0| d'abscisse 2$; puis, y devenant négatif peut décroître jusqu'à la
valeur — y/6' — a^, l'abscisse croît toujours jusqu'à la valeur 3$, ce qui donne le point A2, où la tangente est horizontale. Ensuite j^ augmente de nouveau de — y/ô^ — «2 ^ 4- ^b'-i — «a ; il faut prendre, à partir de A2, le signe + devant le radical, et l'on obtient l'arc A2O2A3 coupant l'axe au point O2 d'abscisse 4$j etc. Les branches de courbe ainsi obtenues successivement sont toutes égales à la première. La courbe est donc analogue à une sinusoïde.
Intégrons les équations par les fonctions elliptiques. Faisons dans l'équation (G) de la courbe
