ha* ' 62-i-a

•elle prend la forme suivante :

ak

d'où

2 /•' dX

xJi n- xJi

Ainsi la courbe donne la représentation graphique de la variation de la fonction sn.

La différentielle ds de l'arc de courbe est

V \dy} ^ v/?(r)

en faisant dans cette formule la substitution (i) ci-dessus, on trouve pour l'abscisse \ du point A< et la longueur X de l'arc 0A« les deux expressions

car le point A« s'obtient en faisant ^ = i .

iga CHAPITRE V.

Quand X et ç sont donnés (X étant supérieur à \, car l'arc OAi est supérieur à sa projection 0B<), les constantes a et k^ ont un seul système de valeurs, sous la condition k^<^i. En effet, en calculant X — $ et X + Ç, on trouve

iwi

-" dt

\ — i J. y i — kH*

dt

Pour k^= o, le rapport du second membre est nul; k^ augmentant, le numérateur augmente évidemment et le dénominateur diminue, donc le rapport augmente et pour ^^=1 le rapport est I . Ce rapport passe donc une fois et une seule fois par la valeur donnée ^ — c- La constante k'^ a donc une valeur et une

seule; l'expression (2) de Ç donne alors pour a une seule va-

Détermination des constantes. — Le fil ayant une longueur donnée / et étant attaché au point O et au point O' de l'axe Ox d'abscisse a, il y a une infinité de cas possibles.

I® Le fil n'a qu'une seule onde entre O et O' {/ig- 16). Alors Ç

Fig. 16.

est la moitié de a, X la moitié de /. Les quantités Ç et X étant connues, la constante k^ a une seule valeur donnée par l'équa-

tion(3); puis a = ^^.

2° Le fil a deux ondes entre O et O'. Alors Ç = -, X = -; A' a

la même valeur que dans le cas précédent, car v-— I est le même

-, ; ensuite a = 717-77?

ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE Sn W, cn W, dnw. 193

En ffénéral, si le fil a n ondes entre O et O', Ç = — > X = — »

P ^ 'in in

k' a toujours Ja même valeur, mais a = — j^, •

Il y a donc une infinité de positions d'équilibre qui sont toutes homothétiques de la première par rapport à O, les rapports *

d'homothétie étant - > ^ > • • •> - •

128. Mouvements à la Poinsot. — Étudions le mouvement d'un solide autour d'un point fixe O, dans le cas où les forces ont une résultante unique passant par le point O.

En prenant pour axes liés au corps les trois axes principaux d'inertie relatifs au point O, Oxyz^ on a, pour déterminer les composantes/?, q^ r de la rotation instantanée suivant ces axes, les trois équations suivantes, dans lesquelles A, B, G sont les moments d'inertie principaux (A^B^C), D et [jl des constantes arbitraires (*),

^ A2/?2 ^ B2 ^2 j G2 r2 = D VS JBg + (A-C)^r=o.

Nous tirerons p et /* des deux premières équations et, en les portant dans la troisième, nous aurons une équation différentielle du premier ordre en q. L'élimination de r entre les deux premières équations donne

A/?2( A — G) -r- By2(B — G) = D(D — G)(jl2.

D'après les grandeurs relatives de A, B, G, on voit que la différence D — G est essentiellement positive : elle ne pourrait être nulle que si les valeurs initiales po et y^ de /? et ^r étaient nulles. De l'équation ci-dessus l'on tire

,.^ B(B-G ) ^ A(A-G)^-^ ^ ^' en posant

(') Fof> Appkll, Traité de Mécanique, t. II, p. 199.

A. ET L. i3

on aui*ait par un calcul semblable

le binôme A — D étant essentiellement positif et ne pouvant être nul que si qo et Fq sont nuls.

Pour que p et r restent réels, il faut que q^ reste inférieur à la plus petite des deux quantités /^ et g^; pour reconnaître cette quantité, formons la diiFérence g^ — /^ :

Le signe de g- — f^ est donc celui de B — D, signe connu par les conditions initiales.

Pour fixer les idées, nous supposerons

La variable q doit alors varier entre — y* et -\-f : donc r ne s'annule jamais et conserve toujours le même signe, signe connu par la valeur initiale i\ : nous supposerons r > o. Au contraire,

/> s'annule toutes les fois que q =^±f', quand q augmente, -^ est

positif, la troisième des équations (i) montre que p est alors négatif; quand q diminue, p est positif. Ces considérations fixent à chaque instant les signes à prendre devant les radicaux qui donnent p et /• en fonction de q .

En portant ces valeurs de p et r dans la troisième des équations (i), on trouve

dq ~di

OÙ le radical est pris positivement tant que q augmente, jusqu'au moment où q atteint la valeur -\-f] puis, q décroissant de H-/" à — y, le radical doit être pris négativement, et ainsi de suite.

On voit que t est donné en fonction de q par une intégrale que nous ramènerons à la forme considérée dans le Chapitre précédent, en posant

ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE Snu, CnU^ dnu, I()'l

Nous aurons ainsi, en résolvant par rapporta dt et intégrant^

où n désigne la constante positive