UIS

dy = \kP'^ diL,

et enfin, en intégrant,

^^ *^o (fx3— 3fx«sina-+-3fx)3

(8) A.y^f\ru^=r ^-^ ^.

"^o •^o (fx3— 3{x«sina-t-3fx)3

Les équations (7) et (8) définissent la trajectoire au moyen de la variable auxiliaire [Ji et l'équation (6) donne la valeur de t pour chaque position du mobile. On voit de suite que le polynôme

P = jx(p2--3{AsinaH-3)

n'a d'autres racines réelles que zéro, et l'on en conclut aisément que, quand [Ji croît de o à +00, ^ et j^ deviennent infinis, et x tend vers une limite : nous désignerons cette limite par a. Il est, en outre, facile de voir que la vitesse tend vers une valeur limite et que iv est la valeur de cette limite. En effet, l'équation (5) montre que, pour [ji = 00, on a

,. dx w = lim u. -77 , ' dt

et l'égalité

AlS CHAPITRE VI.

montre ensuite que, jx -^ ayant une limite, -j- a une limite qui est

la même.

Ainsi, la trajectoire admet une asymptote verticale, la droite x = ay et lorsque le mobile descend indéfîniment sur la branche de courbe asymptote à cette droite, la vitesse tend vers une valeur limite w.

14i. Intégration par les fonctions elliptiques. — On peut ra-

mener l'intégrale qui donne la valeur de ^ (équation 7) à une

intégrale elliptique ayant la forme canonique de M. Weierstrass. Pour cela, faisons la substitution

w*P* , ^ u' — 3 usina + 3

z = f z^=ni^' ■ — 9

fx p.*

m étant un facteur constant arbitraire. Nous pourrons déterminer gz de façon que, dans l'expression

(4»i6 — ^3)[x* — i2/?i*{jLsina -i-12/n* 4«'-^3 = j^;^ y

le trinôme du second degré en [Ji soit carré parfait; il suffit de

poser

4 m^ — ^3 = 3 m^ sin2 a, d'où

^3 = /n6(4 — 3 sin2a).

Il vient alors

/ , /T^i — usina

et, en différentiant,

Celte équation peut s'écrire

dz m^ \/3 d\i. dix. i dx ^

en prenant m^ = l, on a donc, en définitive,

FONCTION p A PÉRIODES IMAGINAIRES CONJUGUEES. 229

On en conclut

(9) ^=p(fT'^'^»)'

puis, d'après l'expression de dz,

\w^ / 3 fx

Quand x est égal à l'abscisse a de l'asymptote verticale, ijl = oo, on a et, par suite,

D'après cette dernière équation, on a

et en intégrant

C'est l'équation de la trajectoire.

crivons u et v au lieu de ^ et de ^> l'équation prend la forme

(II

ë^y r" 6p*Pû?a

/6p*paa

et nous allons pouvoir l'intégrer en appliquant la règle du n° 50. Pour rendre le dénominateur rationnel, multiplions par pV+p'a les deux^ termes de la fraction sous le signe somme et tenons compte de ce que, g2 étant nul, on a

= ^(pi^'-pu){zpv — pu)(t^pv — pu)j

£ et e* étant les racines cubiques imaginaires de l'unité

23o CHAPITRE VI.

En opérant la décomposition en fractions simples, on a

/ I p'i>-+-p'u , i p'ç^p'u 1 p'ç-hp'u

* 2 pv — pw 2 epv — pa 2 e^pt' — pu

^i p'v^p'u ^ i ^ p'(zu)-hp'u ^ i ^^ p'(t^v)-^p'u ^ 2 pv — pu 2 p(ev)— pa 2 p{t*ç) — pu '

car si dans la formule d^homogënéilé

on fait ^2=0 et [jL = e puis ui^s^, et si Ton remarque que - =e^,

on trouve

p(a6»; o, gi) = e»p(a; o, ^3),

P(uz; 0, ^3) = Êp(w; o, ^3), puis, en prenant les dérivées

p'(we«; o, ^3) = p'("; o> ^3), p'(ae; o, ^3) = p'(w; o, ^3).

Des équations (i i) et (12), on conclut

W^ Jq V^ pi^ — pU 2 pZi^ — pU 2 pZ^V — pu/

Mais, si dans la formule d'addition pour ^11 [n° 44, éq. (65)], on change i^ en — ç, il vient

- — = t(u — v) — tu-^tv,

1 pu — pv

Dans cette égalité changeons \> entv puis en e^ç» et remarquons que, d'après la formule d'homogénéité (n° 36), Ç(ei^) = s^îÇt^ et tj(£2(;) = eJ^ç;^ uous obtcuons

2 pU — pZ\^

= ^a — £2p)— ^M-heÇp.

2 p a — p^^v D'après cela l'équation (i3) peut s'écrire, en tenant compte de

FONCTION p A PÉRIODES IMAGINAIRES CONJUGUÉES. 23l

ce que i + e + e^ est nul,

et ron obtient enfin

L'expression du temps ^ se trouve au moyen de l'équation (6) qui donne, par un calcul analogue,

^ Jo P^ — P^

^ rhp'u-^p'. ^l^^p'tç^p'u ^1^P\^V-^P'U\

Jo V^ P^ — pw 2 pzv — pu 2 pe^v — pa/

d'où

— = — Log — ^^ — s' Log — ^--; — e Log -^-—-z •

145. Développement de j^ et de « en séries entières ordonnées suivant les puissances de w = ^ — • — Lorsqu'on se propose de développer ^ et ^ suivant les puissances entières de m, il est commode d'employer la fonction

qui est égale à i pour a = o. Il vient alors

2 = — Logi^M, p)— sLogiKM, ep) — eSLogi^a, e«p).

— = — Log iJ^(m, p) — e^Log il;(a, ep) — sLog ^{u, £*p).

Prenons les dérivées logarithmiques et développons suivant les puissances de u par la formule de Taylor :

en intégrant de nouveau, on obtient

(i8) Log^{u, p)=— ^^ppH-^p'p— ^p'p-H....

Donc, en remarquant que g2= o et ptv = epv

(19) Log^{u,tv) =— ^epp -i-|yp'p— ||-e«p'p...,

(20) Log4;(M, Etp)=— ^etp(,-|-|ypV— ^ep'p....

On en conclut

Dans ces formules, on doit poser

w=^» ^j=o, ^3= ^(4 — 3sin«a), P^ = l' p'p = |Sina, p''p=|, p"'v=-siiia,

Le discriminant étant négatif, les périodes de p s'expriment à Taide des formules des n°^ 137 et suivants.

Les dérivées p'V, p"' ^^ ... se calculent par voie récurrente, en dérivant un nombre quelconque de fois la relation

et faisant ensuite u= ^.

INTÉGRALES ELLIPTIQUES. RÉDUCTION A LA FORME NORMALE DE LEGENDRE ET DE JACOBI. INVERSION.