I. — Intégrales elliptiques
146. Exemple élémentaire de la méthode employée pour calculer les intégrales elliptiques. — On démontre, dans les éléments du Calcul intégral, que l'intégrale d'une fonction rationnelle de x
et de la racine carrée d'un trinôme du second degré ^ax^-^-ibx-k-c peut être ramenée, par un changement de variable, à l'intégrale d'une fonction rationnelle ou à l'intégrale d'une fonction trigonométrique.
Plaçons-nous à ce dernier point de vue, pour rattacher à des notions élémentaires le problème que nous traitons dans ce Chapitre. Soit
dx
une intégrale où R(^, y) désigne une fonction rationnelle de x et j', y étant lié à x par l'équation
(2) y = ^ ax^-\- ibx -\- c.
Si l'on fait un changement de variable, en prenant comme nouvelle variable u l'intégrale
dx
l'intégrale proposée (i) devient l'intégrale d'une fonction trigonométrique. Pour le vérifier, écrivons
r=/^^/If7f
y b'^ — ac
234 CHAPITRE Vil.
et pOSODS
b J b^ — ac / ^
il vient, en choisissant pour x^ la valeur qui annule g,
r dz__
/zv ^ v^6«— oc . . X ,^^T .
(4) 37— i sinAu, V = - V»' — «ccosAm,
û?ar — y du,
Avec cette nouvelle variable m, l'intégrale (i) devient l'intégrale d'une fonction rationnelle de sinXa et cosXm, intégrale que l'on sait calculer.
En employant un langage géométrique, on peut dire que l'équation (2) représente une conique, et que les formules (4) expriment les coordonnées d'un point de cette conique en fonctions uniformes de u,
147. Intégrales elliptiques. — Considérons une intégrale de la forme
(5) jK{x,y)dx,
où R(x, y) est une fonction rationnelle des deux variables x el y liées par la relation
(6) y = ^aox'*-r- ^a^x^-h ôa^x^-^ ^a^x -h «4,
dans laquelle le polynôme sous le radical est du quatrième ou du troisième degré. Une intégrale de ce genre s'appelle une intégrale elliptique. Les intégrales elliptiques ont fait l'objet des recherches de Legendre, avant la découverte des fonctions elliptiques par Abel. Pour les calculer, on peut faire un changement de variable en prenant comme nouvelle variable u l'intégrale
Les quantités x el y deviennent alors, comme nous le montrerons, des fonctions elliptiques de u et le calcul de l'intégrale (5)
