INTÉGRALES ELLIPTIQUES

est ramené au calcul de rintégrale d'une fonction elliptique, calcul que l'on sait faire à l'aide de la décompositioaen éléments simples. En employant un langage géométrique, on peut dire que les coordonnées x ei y d'un point de la courbe (6) s'expriment par des fonctions elliptiques de la variable u, ce qui permet de transformer l'intégrale (5) en l'intégrale d'une fonction elliptique.

148. Premières réductions de l'intégrale elliptique. — Dans la fonction rationnelle K(ûo,y) on peut toujours remplacer les puissances paires de y par les puissances du polynôme

y^= aoa7*H- 4«i^^-+- Oa^x^-h ^a^x -\- ai,,

et ramener cette fonction à la forme

P, Q, P|, Qi désignant des polynômes en x. Si l'on multiplie et divise par P, — Qi^ en remplaçant encore y^ par sa valeur, on obtient une expression de la forme

où R(^) et R|(^) sont des fonctions rationnelles de x. L'intégrale I se partage alors en deux parties

I r= fK{x)dx -h ryB.i{x)dx,

dont la première s'obtient immédiatement, comme l'intégrale d'une fonction rationnelle. Quant à la seconde nous l'écrirons, en multipliant et divisant l'élément différentiel par y^

dx,

S(^) étant une fonction rationnelle de x