II. — Forme normale de Legendre. Intégrales de Jagobi

149. Forme normale de Legendre. — On dit qu'une intégrale elliptique est ramenée à la forme normale de Legendre quand la

racine carrée j^ est de la forme

r = /u — a7»)(i — X:»ar«),

où A désigne une constante appelée le module. Dans les recherches théoriques, cette constante k a une valeur quelconque réelle ou imaginaire; dans les applications à la Géométrie, à la Physique, à la Mécanique, on peut, comme nous le verrons, la supposer réelle et moindre que l'unité.

La racine carrée j^ ayant cette forme, voyons comment on peut calculer une intégrale de la forme

à laquelle on peut réduire toute intégrale elliptique, d'après le paragraphe précédent. Actuellement on peut encore, par des procédés algébriques, simplifier cette intégrale, en profitant de ce que y est la racine carrée d'un polynôme bicarré. La fonction rationnelle S(^) peut toujours s'écrire

où ^ et <^| sont des fonctions rationnelles de x-. L'intégrale

s'écrit alors

S\.{x'^)dx rx^x(x^)dx

rA( x^)dx ^ r

La deuxième intégrale se ramène immédiatement à une intégrale élémentaire par la substitution

qui donne l'expression

S\.x(z)dz

où le polynôme sous le radical n'est plus que du second degré en ;; Finalement, on est donc ramené à l'intégrale