INTÉGRALES ELLIPTIQUES
Si l'on y fait le changement de variable
JC"^ dx r"" dx
— •= / , =r> a7 = sn(a,A-),
elle devient
/ ^(sii*w)<iw,
intégrale d'une fonction elliptique aux périodes 2K et 2fK'. Pour la calculer, il faut décomposer la fonction elliptique en éléments simples, en procédant comme nous avons fait au n® 50 dans une question qui, au fond, est identique à la question actuelle. On décomposera d'abord la fonction rationnelle de a;^, Jl(^2^^ ç^^ fractions simples
, y r ^ , ^1 1 . Vm 1
OÙ nous mettons à part les termes en a; et en - quand ils existent;
la somme S est alors relative aux racines a qui sont différentes de zéro.
Faisant ensuite ^ = snM, on sera ramené à calculer les intégrales des types suivants
(8) / sn^wû^a, / %Xi*udUy ..., / — —-, ••.» / sn^^wâ^w,
où n est un entier positif ou négatif,
du r du
r du r du r
^^^ J snîa — a' J (sn^u — af' '"' J
{sn^u — aL)P
OÙ a est différent de zéro. Ces intégrales sont faciles à obtenir par la décomposition en éléments simples.
On peut, par voie récurrente, ramener toutes les intégrales du type (8) à la première de ce type. Quant aux intégrales du type (9), elles se déduisent de la première en la différentiant par rapport à a. De là l'importance particulière des premières intégrales de chaque type. Nous allons les calculer.
'238 CHAPITRE Vil.
150. Intégrales de première, deuxième et troisième espèce, d'après Legendre et Jacobi. — i° On appelle intégrale de première espèce l'intégrale
2** On appelle intégrale de deuxième espèce, l'intégrale
'^ x^ dx
qui devient, quand on y fait ^ = sn u,
k^ I sn* u du.
Cette intégrale, que Jacobi désigne par Z(w), a pour valeur (n° 100)
Quand u augmente de aR ou de ii¥J l'expression que nous venons de trouver pour l'intégrale de deuxième espèce éprouve des accroissements constants
6(0) L^(o) 2KK'J
que l'on appelle modules de périodicité de V intégrale de deuxiem^e espèce. On en déduit la relation
KJ'— JK'=: -.
3° On appelle intégrale de troisième espèce l'intégrale
r^ dx
qui devient, quand on y fait ^ = sn f^,
du
sn2 u — a OÙ a est différent de zéro. Pour la calculer, déterminons un argu-
INTÉGRALES ELLIPTIQUES. 'l'i^
ment a par la condition
sn^a = a,
nous aurons à calculer l'intégrale
r" du Jq sn^u — sn^a
qui est donnée par la formule suivante établie au n° 100
snacnadna i H'(w — a) i H'(a-+-a) 6'(a) sn^u — sii*a ~~ 2 H(a — a) 2 H(a-i-a) ©(«) '
d'où
"sna cna dna rfa ^ I ^ H(a — m) 6'(«)
Si, dans la formule de décomposition (10) on change uen w-i-fK', elle devient, d'après la relation
sn(a-f-iK')= ■=
' a: sn a
et la formule donnant H(tt + îK.') en fonction de 0(w),
X:* sna cnadna sn'a 1 6'(m — a) i 6'(a-i-a) 6'Ca) i — k^sn^asn^u ~ 2 6(w — a; 2 6(a-ha) ©(«)
Pour désigner l'intégrale du premier membre prise de o à m, Jacobi emploie la notation !!( w, a) :
, /•" sn^udu
n(a, a)= a:* snacnadna / 7- — r r—
^ ^ */o ^ — a:* sn* a sn* w
4® Formule récurrente pour le calcul de 1 sn^"uclu, — En calculant l'expression
-y- \sa*^-^u cnudau], et désignant, pour abréger, par s la fonction sn w, on trouve
a4o CHAPITRE VII.
OU en ordonnant
En intégrant on a snî/i-j|^cnadnw =(2/1 — 3) j s*'*-^ du
— (2/1 — 2)(i-T-A'«) r5««-«û?a-f-(2/i — i)A:« f s** du,
formule qui permet de calculer toutes les intégrales / s^** du (que
n soit positif ou négatif) en fonction des deux premières correspondant à n = o, et /i == I .
151. Cas d'un polynôme bicarré. — Soit l'intégrale elliptique
dx.
où S(^) est une fonction rationnelle de Xy et y la racine carrée d'un polynôme bicarré
r = v/A:r*-T-2Bj72-t-C.
On peut encore écrire, comme dans le paragraphe précédent,
S(x) = ^(x2)-+-arai(x«),
où^ et<:Ri sont des fonctions rationnelles Aqx^, L'intégrale prend alors la forme
La deuxième intégrale devient une intégrale élémentaire par la
substitution
11 reste donc à calculer l'intégrale
rA(x^)dT
INTEGRALES ELLIPTIQUES. 2^1
Si l'on ne s'astreint pas à n'introduire que des éléments réels, cette intégrale se ramène immédiatement à la forme normale de Legendre. On a, en effet, en décomposant le polynôme bicarré en facteurs
a et P pouvant être imaginaires. Si l'on fait ensuite
X = aZf on a
et l'intégrale devient
I f ^((x^-z^)dz
elle est réduite à la forme normale de Legendre et on la calcule, comme dans le paragraphe précédent, en faisant
z = sn{u, k).
Alors on a
X = az = isnu, ^%^ — a?^ = a en m,
y/ji2— ^2= Py/i — X"2^2= ^ drtM,
^ = a^ /a en u dn w, 1= -^ rA(oLisa'-u)du.
152. Réduction à la forme normale en quantités réelles, dans le cas d'un polynôme bicarré de la forme \{x^-h%){x^-\-'';i); A, a et p étant réels. — Supposons que l'on ait
Aj B, C étant réels et B- — XC positif: on peut alors écrire
a et P étant réels. Plusieurs cas sont à distinguer suivant les signes des quantités A, a et p. Comme on peut toujours, devant le radical, mettre y/±: A en facteur, on a pour^ les types suivants où a A. ET L. i6
242 CHAPITRE Vit.
et b désignent des quantités réelles
(I) ^ = v^(a* — :r«)(^î-arî),
(II) ^ = /(a»-a7»)(ar«-6«),
(III) y =\/{d^ — x^){x^-h b^),
(IV) ^=v/(ar*— a«)(a7*-h6»),
(V) 7=:/(ar»-4-a*)(a7«-h6*).
Voici, pour chacun de ces types, une substitution réelle propre à ramener l'intégrale
dx
à la forme canonique de Legendre.
Type l. — Soit
y = \/{a^^x^){bi — x*)j a» > 6«.
La quantité y devant être réelle, x^ est extérieur à l'intervalle a^^ b^. Deux cas sont à distinguer suivant que x^ est inférieur à 6ou supérieur à à^.
Premier cas : x- <C b-. — On fait x = bz; et l'on a
Le radical est donc ramené à la forme demandée avec un module réel moindre que l'unité. Faisant ensuite
z =^ snu.
on a
X = b sn Uj
si b'^ — ic-=^cnw, sj a'^ — a:^ = a dnM.
^ = aô en w dn w,
J = - rjl{b^sn^u)du.
Deuxième cas : ^'^>> a-. — Posons
nous avons
dx = dz,
INTEGRALES ELLIPTIQUES. 243
Le radical est encore ramené à la forme demandée, et en posant z =z snu, on a
snw snw snw
. cnu dnw
Type II. — Soit
Pour quej^ soit réel, il faut que x"^ soit compris entre a- et b- . Il suffit de faire
a'*' — x^ = ar'2, ^'2 < «2— 62,
pour ramener Tintégrale
r S\.{x^)dx
J s/{a'^—x'i){x'i—b^) à rintégrale
J ^{a'^ — x'^){a^— 62— .r'-')' qui rentre dans le type I.
Type 77/. — L'intégrale
dXj X^ < «2
\/{a^—x^){x^-hb^) se ramène de même au tj^pe I par la substitution
qui donne l'intégrale
v/( «2 a7'2 ; (a2 -4- 6^ — x'i ) 7y/?e /F. — L'intégrale
^ar'.
éK(x^)
/(a?*— a2)(iF2-+-62)
û?a7, ar2> ûfî,
244 CHAPITRE Vit.
pouvant h écrire
A{x^) dx
\a» x^)\x^'^ b^) est du type III si l'on y considère - comme la variable. On la ra-
mènera donc au type I par la substitution
Type V. — Enfin l'intégrale
dx, a»> b*
se ramène également au type I par la substitution
qui la transforme en
K(x'^—a'^)dx
153. Réduction à la forme canonique de Legendre en quantités réelles quand y est la racine carrée d'un polynôme du quatrième degré. — Nous allons montrer que l'on peut toujours, par une substitution réelle, transformer un polynôme du quatrième degré à coefficients réels en un pol^'nome bicarré de la forme
A, a et [5 élant réels. On sera alors ramené au cas précédent.
On sait qu'un polynôme du quatrième de<;ré, à coefficients réels, peut être décomposé, au moins d'une manière, en un produit de facteurs réels du second degré. On peut donc supposer
= /G ( x'^ -h x DIX ^ n){ x- H- -iixx ^ V ),
(^, /??, /?, 'JL, V élant réels. Faisons x = f~^-, t étant la nouvelle
variable, p el q deux constantes. En subslituant dans y et réduisant au même dénominateur, nous aurons sous le radical le pro-
INTEGRALES ELLIPTIQUES. 245
duit de deux trinômes en t. Déterminons p el q àe façon que ces trinômes ne contiennent pas de termes du premier degré en t : nous aurons les deux équations
qui donnent
n — V mv — nu.
p-hq= , pq = *-•
' [i — m ^ fi — m
Les quantités p et q sont donc racines d'une équation du second degré; pour qu'elles soient réelles, il faut et il suffit que la quantité
A = (n — ;)2 — 4(h^ — /?i)(/nv — /ifx)
soit positive. Nous allons vérifier que, si le polynôme du quatrième degré en x n'est décomposable que d'une façon en facteurs réels du second degré A, est positif ; et que si cette décomposition est possible de plusieurs façons, on peut toujours la faire de telle manière que A soit positif. En effet, appelons a, fe, c, d les quatre racines de ce polynôme, a et 6 étant les racines de x^-{- imx -{- n^ c et d celles de ^- 4- 2 [jl^ -h v. On a
%m = — (a-i-è), n = ab, 2{jl = — (c -f- <i), ^ — cd.
Substituant dans A, on trouve
Si a, 6, c, d sont imaginaires, a el b sont conjugués, c et d aussi ; A est positif.
Si a et b sont réels, c eld imaginaires conjugués, A est positif.
Si les quatre racines sont réelles, on peut décomposer le polynôme du quatrième degré en x de trois façons différentes en deux facteurs réels du second degré : supposons qu'on ait fait la décomposition de façon que a >> 6 ^ c >> rf; alors A est positif.
Ainsi, dans tous les cas, après l'introduction delà nouvelle variable ty y prend la forme
r = - — ^—- ^-\- ^ (\, a. S étant réels);
