I. — Le POLYNOME SOUS LE RADICAL EST DU TROISIÈME DEGRÉ

155. Réduction à la forme normale. — Soit à calculer rintégrale

■ ^ l. — 9 OÙ X est un polynôme du troisième degré

X = ax^-{~ 'ibx^-^^cx -h d.

Si nous effectuons dans X la substitution

X = mz -i- n,

nous pourrons disposer des constantes m et ai de façon que le polynôme Z transformé de X soit de la forme

n'2 ^^ g^ désignant des coefficients constants. On reconnaît immédiatement qu'il suffit de poser

a et

On voit alors que l'on est ramené à considérer une intégrale

Ç S(z)dz

S(z) désignant une fonction rationnelle de z. On dit qu'une intégrale de celte forme est de la forme canonique de M. Weierstrass.

Si l'on pose ensuite

on en tire, en faisant Pinversion, etTinlégrale elliptique I devient

l=z rS(pu)du,

S(p{«) étant une fonction rationnelle de pu. On calculera cette intégrale par la méthode de décomposition en éléments simples, comme on l'a expliqué au n^ 50.

Les périodes de la fonction pu se calculent d'après les formules du Chapitre VI.

156. Remarques sur rinversion. — Nous avons vu, dès le début de cet Ouvrage» que, si l'on construit la fonction pu avec deux périodes arbitraires s co et 2 co' de rapport imaginaire, cette fonctien z = pu vérifie une équation de la forme

/dz \»

g'2 et gz étant des constantes définies en fonction des périodes par certaines séries. Inversement, étant donnée une équation de cette forme où g^ et g^ ont des valeurs déterminées choisies arbitrairement, on peut toujours conslruire une fonction p{u\ g^t gz vérifiant cette équation. Cela résulte, comme nous Tavons déjà remarqué au n® 34, de ce que la fonction du est représentée par une série entière en w, g^^ gz convergente quelles que soient ces quantités et que la fonction

z = pu =

vérifie Téquation (i) quels que soient ^2 6t gz-

Nous allons rappeler comment, g2 et gz ayant des valeurs réelles quelconques, on peut calculer une paire de périodes^pri-

mîlives de pu et vérifier que la fonction pu, construite avec ces périodes, satisfait bien à Téquation (i).

Premier cas : Discriminant positif, — Supposons que dans l'équation

g2 et g^ soient réels et que le discriminant du second membre \ = gl — ^'Jgl soit positif. Les racines e^^ e^-, e^ sont réelles. Déterminons les valeurs (o et w' par les égalités

r^^ dz

-e, >J^Z^—glZ-\-gz

de sorte que o) et ^- sont des quantités réelles et positives, et construisons la fonction pu qui admet pour périodes primitives

Cette fonction pu satisfait à une équation différentielle

dans laquelle G2 et G3 ont des valeurs réelles rendant le discriminant G.^ — ^7^8 positif. Il s'agit de démontrer que l'on a

Pour cela, rappelons que les demi-périodes (o et (o' de la fonction pu peuvent se déduire des coefficients deTéquation différentielle vérifiée par cette fonction au moyen des égalités

'e, sJ !\z'^—Ç^.iZ — G3 a/ r-^" dz

en désignant par E| la plus grande et par E3 la plus petite des racines du polynôme 4^^ — G2 s — G3. En comparant ces ex-

25o GHÂPITIB VIII.

pressions de (i> el de -r aux inlégrales (a) et (3) qoi ont ser?ï de défiailion à ces quandtës, oq est conduit aux égalités

dz r'*"* rf»

Mais, diaprés le raisonnement fait au n** 141, les égalités précédentes exigent que l'on ait

E|=«i, EfS^t, Es s «s, et, par suite,

G|=^i, Gj=^,.

Donc Téquation différentielle donnée est vérifiée par la fonc-

iii' lion pa qui admet pour périodes primitives 2co et aco', co et-?- se

déduisant des coefficients de Téqualion donnée à Taide des intégrales (2) et (3).

Deuxième C4S : Discriminant négatif. — Èlànl donnée l'équation différentielle

dans laquelle g-y et ^3 sont réels, et tels que Ton ail

nous allons construire une fonction pu vérifiant cette équation différentielle.

Soient 62 la racine réelle, (?i, e^ les deux racines imaginaires conjuguées de 4^^ — g2^ — ^3= ^ î posons

puis

tO:) — to» co^-f- to., oJi = -^ -, aj3 = — ^ ^

REDUCTION A LA FORME NORMALE DE M. WEIERSTRASS. 25l

et construisons la fonction p u qui admet pour périodes primitives

Cette fonction pu satisfait à une équation différentielle

les périodes 2(i)|, 2(03 étant imaginaires conjuguées, on sait que Ga et G3 sont réels et que le polynôme /\z^ — 0,2 — G3 admet une seule racine réelle : soient E2 la racine réelle, E| , E3 les racines imaginaires conjuguées de ce polynôme; de plus, on a

tt>2

^' 'Ae, v/4-s^-G2 3-hG3

Il s'agit de démontrer que Go et G3 sont égaux respectivement ^ ^2 et ^8.

D'après ce qui précède, on doit avoir

Jt^. \/(z — ei)(z — e.-, )( z — e,) Jv

^{z—ei){z — e.2){z — ea) Je, \/{z — ^^){z — E.){z -^ ÏL^) el

dz /* * dz

J-e. ^J{z.-\-ex)(z -^ e>>){z -^ e-x) */

Mais nous avons vu (n° 139) que ces égalités ne peuvent avoir lieu que si E2, E,, E3 sont égaux respectivement à ^07 ^1 , <?3 et par suite si l'on a

Donc la fonction J3W que nous avons construite avec les périodes 2(0|, 2(03 satisfait à l'équation différen tielle donnée.

II — Lk POLYNOME sous LE RADICAL EST DU QUATRIÈME DEGRÉ. PrKMIER MODE DE RÉDUCTION OU l'oN NE SE PRÉOCCUPE PAS DE LA RÉALITÉ.

On a déjà donné n® 152 une méthode pour faire l'inversion de rintéerrale / ■ ^ en se servant des fonctions de Jacobi. Mais.

CB&PITBR KIII.

pour appliquer cetle méthode daos te eu gé'riéral, il Taui dcomposer F(«) en na prodoit de deox facteurs du second ilegrë, cù qui condait i réMxidre ooe équation da iroisième degré. Il jr a iotérét à éviter cette qaesUon anxiliaire, Burloul lorsque le polynôme da qaalrièine degré F(3) n'a pas ses coeflîcietiis niimériqnes et contient dea constantes arbitraires, coiniur cela se présente souvent dans les problèmes de Méc;iriî<[ue. Ceil*? diriiciilté se tronve écartée quand on fait l'inversioa en se servant des fonctions de M. Weierstrass.

157. Oaa partioaUer. — Parmi les formes diverses que peut prendre la formule d'addition de la fonction pu, nous avons ob-

tenu la suivante (n" 45)

Si donc on pose

a pu — pp

en regardant c comme une constante et t comme une fonction de u, cette fonction vérîBe l'équation dilTérentielle

Nous allons esprimer le second membre en fonction de ( el vériller qu'il est un polynôme du quatrième d.gré en (.

Dans tout ce qui suit nous rendrons les résullals plus faciles à retenir en emplojanl une représentation géomélrique.

t^onsidérous la cubique

dédite par le point de coordonnées

cu!jique étudiée aux n " 38 et suivante. Coupons celle courbe par une sécante passant par un point fixe P de paramètre v et un point variable de paramètre u; le coefficient angulaire de la séeanle est

RÉDUCTION A LA FORME NORMALE DE M. VVE lE RSTR A SS. 253

et le troisième point d'intersection a pour paramètre — (u-i- v) (n°60). Nous avons obtenu dans Je n® 60 des formules qu'on peut écrire, en y remplaçant a par 2 ^,

[pu — pç][p{u-hç) — p{v)]= ' (jD^-'^^pV);

ces identités montrent que pu — pt^ et p(u -\- v) — pç sont racines d'une équation du second degré ayant pour coefficients des polynômes en t. En élevant la première au carré et en en retranchant le quadruple de la seconde, on a

et l'équalion différentielle que vérifie ^ peut s'écrire

/ c/ty

en posant

Les racines de ce polynôme y(^) sont les moitiés des coefficients angulaires des tangentes menées du point P à la cubique; en effet, si t devient égal à une de ces racines, on a pu = p(u -\- v)^ et la sécante de coefficient angulaire 2t coupe la cubique en deux points confondus.

En résumé, si t est défini en fonction de u par l'équation

du = , y

\/At)

t peut s'exprimer en fonction uniforme doublement périodique de u par la formule (i) et il en est de même de \jf{t), qui est

rgale à . • On exprime ce résultat en disant qu'on a résolu le pro-

blLinc (le l'inversion pour le polynôme J\t), Ce polynôme du ([uaU'icme degré en l ne renferme pas de terme en l^ et contient trois constantes arbitraires, qui sont l'argument r et les deux invariants gi et g^ de la fonction p.

Nous allons voir que, si le polynôme sous le radical est un polynôme du quatrième degré f|uelconque, on peut toujours, après en avoir fait disparaître le terme en ^*^, l'identifier avec f{t). Le

tH CIAPITBB Vllt.

eu particolier qae nons Tenons de tnitr^r nous doiiuera daoc U solation dn problème de rinvershtn pour un poljnoi trième degré quelconque.

1S8. I« oas céBéral rcmané «n emt particulier précédent. Soit UD pol^omc donné dn quatrième de^-ré

ip(() = (*-t-6*,ï»+4a,f -

débarrassé du terme en t*. En Tidentifiant arec le poljDorae/(() du numéro précédent, oo trouve, en vertu de ajfv = tap*v — gt,

pv = — a,, p'v = «,, g,— 3p«* = »».

La dernière de ces égalités peut être remplacée par la suivante

et l'on voit que les trois constantes pv, <p/v et gt se trouvent déterminées. La valeur de gt peut se déduire de l'équation

elle est égale à

p'»fî=4p»p — ^.pc — ^»;

On a donc, pour identifier les deux polynômes, les relations concordantes

Ces relaiions définissent les deux invariants g^ et g3 et l'argu-

Si le polynôme donné est un poljnome F(3) renfermant un terme du iroisième degré

on fera disparaître le second ternie en posant

F(i) = «»(('+ 6aii»+4iji^

«0^2 — «î «3«o — 3aoûtia2-l- 2af "' = al ' "'= ai '

On trouve enfin, pour ^2 ^1^3, les expressions suivantes

g ^2= ai-+- 3a| = -j'

^3 = aga^— a2 — a| = -^ ,

en posant

S = ao«4 — 4^1 <^3~+~ 3«2'

T = ao^2^4'+' 2aia2^3 — ^^ — «o^f — âtj a^.

Remarque, — S et ï sont les invariants du polynôme

ao^^H- 4<^l'2^H- Gâtg^^-i- 4^3-5 -HCf^.

Si l'on calcule les valeurs particulières de S et de T pour le polynôme

f(t) = ^4- G^2pp -f. 4fpV -+. ^2- 3pV,

on trouve ^2 Gt ^3.

On obtiendrait donc immédiatement les relations donnant «., et ^3 en égalant les valeurs des invariants des deux polynômes que l'on veut identifier.

Les expressions depç et de p' v en fonction de «o? <^i> ^2? <^3j «4 s'obtiennent de même en remplaçant a2, as, (3t4, par leurs valeurs; on peut alors énoncer la règle suivante :

159. Règle. — Soit F (5) un polynôme du quatrième degré quelconque

et soient S et T les fonctions suivantes des coefficients de ce polynôme

T = ao «2 ^4+ 2 «1^2 «3 — a\ — aQa\ — ala^.

«S6 CKAPITKI Vllt.

Si l'on preod les fonciioas elliptiques aymt

a allument coDsUDt c défini par les égalités

et si l'on pose

puis

ce qui donne la solution du problème de l'inversion pour le polynôme du quatrième degré F(z).

A un point de vue géométrique, ces formules peuvent a.a9si s'interpréter comme il suit :

Si l'on considère la courbe du quatrième ordre

lus coordonnées Z et z d'un point de celte courbe peuvent s'exprimer en fondions uDiformes du paramètre u par les formules

< QUANTITÉS IIKELLE3. Disc»

ItiO. Expression elliptique des racines d'uu polynôme du quatrième deg^é. — D'aprùscc i^ui précède, élanl donné un polynôme du qualrième degré

F(2)=<To3'+4ni-^-HG«i3'+4«=---H«i,

les invariants des fonctions elliptiques et l'argument constant (^ étant convenablement choisis, le polynôme F(z) prend la forme

F{z) = ao[pu — p(u-h v)y.

Cette forme permet de trouver simplement les valeurs de l'argument u qui correspondent aux racines de F(^). Pour l'une de ces valeurs, on doit avoir

ou bien

m et n étant des nombres entiers. On ne doit pas prendre le signe +, puisque v n'est pas un multiple des périodes. En prenant le signe — , on trouve

U= h m (JL> -h Al OD ,

et il suffit de considérer les quatre valeurs suivantes de u :

Uq = ? Z^i = h W, M2 = h (JL> H- (U , 2^3 = h O) .

161 . Discussion relative à la réalité des racines. Cas où le discriminant est positif. — Nous supposerons dans ce qui suit que les coefficients de F(^) sont réels, de sorte que, lorsqu'on fait l'inversion, g^ et g^ sont réels. De plus, nous nous limitons pour le moment au cas où le discriminant est positif. La courbe

x=zpuy y = p'u

se compose d'une ovale et d'une branche infinie. Les valeurs de pç' et p' V étant réelles, v est le paramètre d'un point réel de la courbe. L'une des périodes o) est réelle, l'autre o)' purement imaginaire.

Les arguments Mq? ^^ij ^2j ih sont les paramètres des points de contact des tangentes menées à la cubique x = pu^ y=:p'u par le point de paramètre v\ les valeurs correspondantes de

2 pU — pV

sont les demi-coefficients angulaires des quatre tangentes, et l'on

aU eaiFITBB TIII.

voit, an ae reportant à l'ezpreuion de s en fonction de u, que le nombre des racines réelles de F(j) est égal au nombre des tangentes réelles qu'on peut mener à la cobiqac jtar le point de paramètre V.

Noos a'voni tu (a° 63) que les qnatre tangentes sont ou toutes

réelles, ou toatei imaginaires suivant que le jioini c appartient à

la branche infinie ou i l'oTsle, c'esl-à-dire (n" 63) suivant qu'on

a à la fois ** »*^"

pf>o. p'p>o,

ou que l'une au moins de ces inégalités n'esl pas vérifiée.

D'après la valeur de pv en fonction des coefficients da polynôme, on peut énoncer ce résultat ainsi :

Dans le cas da discriminant positif, le polynôme F(2) a tes quatre racines réelles, si l'on a à la fois

aj — a»o,>o, ia((i| — OiOt)*— Sai>o.

Si l'une de ces inégalités n'est pas vérité, le polynôme a ses quatre racines imaginaires.

Les quatre racines rangées par ordre de grandeur. — Désignons par

«0, s,, «,, Xt,

les valeurs de s et par

i«, '., 'j, h les valeurs de t qui correspondent aux arguments

Dans le cas où les quaire racines sont réelles, les quatre valeurs de z sont rangées dans le même ordre que les valeurs correspondantes de t.

Or on peut voir sur la figure (fig. 20) dans quel ordre sont rangés les coefficients angulaires des quatre tangentes menées du point P de paramètre v, en remarquant que chacune de ces tangentes n'a d'autre point sur la courbe que le point P et son point de contact. En supposant

on voit <Jig. 20) que les valeurs de * sont rangées dans l'ordre

RÉDUCTION A LA FORHB NORMALE DE M. WEIERSTRASS. 269

et, par suite, on a

Fig. 20.

162. Inversion en quantités réelles. — Supposons que Ton ait fait l'inversion de l'intégrale

par la méthode des n*** 1S8 et 159. Cherchons quelles valeurs de u l'on doit prendre pour que z et v/F(^) soient réels tous les deux.

1** Cas où les quatre racines sont imaginaires. — Alors F(z)

est toujours du signe de a^. Si donc a^ est négatif, y/F(^) n'est jamais réel en même temps que z, SI a^ est positif, il suffît que z

soit réel pour que ^^{z) le soit, c'est-à-dire que

2 pu — pp soit réel. Or, puisque les quatre racines sont imaginaires, le

MO CBAriTIl VIII.

point P, de paramétre o, appartient i l'orale. Si dous menons par ' ce point P uae sécante de coefficient angulaire il, celle sécante rencontre toajonrs, quel que soit t, la courbe en un autre point appartenant k l'ovale et en un point appartenant à lu branclie îafinie. En d'autres tenues, i une valeur réelle de ( correspondent pour u une valeur réelle et une valeur de la forme ct + u', a étant ^ réel.

Ainsi, quand les quatre racines sont imaginaires, il n'y a de solution que si a^ est positif; on doit prendre alors u réel ou u - u' réel.

a" Cas où les quatre racines sont réelles. — Le point de paramètre c est alors sur la branche infinie de la cubique, comme dans \ajîg, ao.

L'ai^ument c peut alors être supposé réel et compris entre — c» el(u(n''63).

Nous ferons la discussion en supposant

ce qui est d'accord avec la figure, et nous écrirons

les racines se succédant dans le produit suivant l'ordre de grandeur décroissante.

Soit d'abord ao'> o. Comme z est supposé réel, pour que \/P{z) le soit, il faut que z vérifie l'une des inégalités suivantes :

ou bien que ( vérifie l'une des suivantes

Or le point P se trouve maintenant sur la branche infinie. Si nous menons par P une sécante de coefficient angulaire ( et si l'on a

les deux points variables d'intersection appartiennent à la branche infinie : les valeurs correspondantes de u sont réelles. Si l'on a

les deux points variables d'intersection appartiennent à l'ovale et, pour chacun d'eux, u — co' est réel. Ainsi, quand a^ est positif ^ on doit prendre u réel ou bien u — co' réel.

Soit maintenant ao<l o» ^^ doit avoir

Si Tune ou l'autre de ces inégalités est vérifiée, la sécante menée par P et dont le coefficient angulaire est 2 ^ ne rencontre plus la courbe; les abscisses des deux points variables d'intersection

pu, p{u-hv)

doivent être imaginaires conjuguées. Or, si nous posons u=a-+-bi^ a et b étant réels, la formule d'addition montre que p(a-\-bi) et p(a — bi) sont imaginaires conjugués; il faut donc que l'on ait

p(if -{- a -h bi) = p{a — bi) ou bien