V -^ a -h bi = zh(a — bi)-{- 7. m ts) -\- 2 nui

ni et n étant des nombres entiers. On ne peut pas prendre le signe +, car, en égalant les parties réelles, on trouverait

V = 2/na),

ce qui n'a pas lieu; on doit donc prendre le signe — et l'on a, par suite,

n doit être nul, puisque v et a sont supposés réels, et l'égalité peut s'écrire

a = h /nco,

où il suffit de considérer pour m les valeurs o et 1 .

Nous trouvons donc, comme condition nécessaire, que u doit être de l'une des formes suivantes

u = — - -\- iô, u = h (ù -h ib.

b étant réel. Nous allons vérifier que cette condition est suffisante. On voit d'abord que, si u a l'une des formes précédentes, t est

*JSa GHAPITII WUÎ.

réel. Eb effets on a, d'après rinterprétation fécHiiétriqse 4e f, comme demi-coeificieiit angulaire de la sécantei

I p'k — p'ut , V

a pii — p«i ^

Si

££ et ii| sont imaginaires conjugués; il en est de même de pu et de j3i£|, puis de p'u et de p'ut : donc i est réel. Si

1*1= — ( hW-f-t6j,

1*1-4-20)= — - -f-CO — êo,

Donc pu et pi/^ d'une part, p'u et p'i/o d'autre part^ sont imaginaires conjugués, t est encore réel. Dans les deux cas^ la sécante de coefficient angulaire 2 1^ menée par P, rencontre la cubique en deux points imaginaires. II faut donc que l'on ait

h>i>h ou ^î><><i.

Donc enfin, pour une valeur de u de Tune des deux formes coosidérées, z et v/F(^) sont réels tous les deux.

Ainsi, dans le cas oà les quatre racines sont réelles et oà Oq

est négatif y on doit prendre u -\ — ou bien w H topure-

ment imaginaire.

La démonstration a été faite en supposant o <C <^ < w. Le résultat est encore vrai si v est compris entre o et — o).

163. Résumé. — Le discriminant étant positif, si l'on veut que

z et ^F{z) soient réels tous les deux, la forme de l'argument // est donnée par la règle suivante :

I® Les quatre racines deF{z) sont imaginaires. — Si a^ est

positif, on doit prendre u réel ou bien u — w' réel; si a^ est négatif il n'y a pas de solution.

2° Les quatre racines de F (2) sont réelles. — Si ao est positif, on doit prendre u réel ou bien u — w' réel. Si a^ est négatif,

on doit prendre w + - ou bien u-\ (o purement imaginaire.

Ces cas i® et 1^ sont les seuls qui peuvent se présenter quand le discriminant est positif.

rv. — Inversion en quantités réelles. Discriminant négatif.

164. Racines de ¥{z), — Soit, comme précédemment, le polynôme du quatrième degré à coefficients réels

F(^)= aç,z^-\- 4«i^^-+- 6ai^*-t- ^a^z -\- ai,.

Les quantités ^2 ^tga étant calculées comme plus haut en fonction des coefficients de ce polynôme, nous supposons maintenant le discriminant g\ — ^T g\ négatif.

Nous désignerons, comme au n® 132, par 104 et ojs un couple de périodes primitives de la fonction p, périodes que l'on peut supposer actuellement imaginaires conjuguées

o>2 désignant une quantité réelle et o)^ une quantité purement imaginaire.

On voit immédiatement, comme au n** 160, que, si l'on pose

les invariants de la fonction p et l'argument constant v étant convenablement choisis, les racines du polynôme F(^) correspondent aux arguments

M„ = 9 Ui = H 0)1, U2 = h 0)1 + 0)3, Uz= h 0>3.

Nous supposons que les coefficients de F(z) sont réels; alors les quantités qui ont servi à définir pt^ et pV sont réelles, et Ton peut toujours supposer ç réel et compris entre — o>2 et (i>2»

•264 CHAPITEB VIII.

On voit donc que F{z) a deux racines. réelles correspandaiil aav arguments

et deux racines imaginaires conjuguées correspondant aux arguments

— p-f-a>t — CD. — i'-HWi-Hwi ii,= i, a,= i»

Si ToD considère la courbe

a: = pu, jr=:pu

précédemment étudiée (n® l^^)? on sait que cette courbe n'a pas de points réels en dehors de la branche infinie représentée sur \difig* 19. Le point P de paramètre v est un point de cette branche. Par ce point on peut mener à la courbe deux tangentes réelles. Les demi-coefBcients angulaires de ces tangentes sont les valeurs que prend le rapport

"" 2 pu — pv '

pour 1/ = I/o et 1/ = U2'i valeurs que nous désignerons par t^ et t^. Dans la discussion qui va suivre nous supposerons

o < p < o>2 ; on voit alors sur la fig, 19 que l'on a

et l'on en conclut

165. Inversion en quantités réelles. — Cherchons quelles valeurs de u il faut prendre pour que z et y/F (-s) soient réels tous les deux. Comme on a

et que Zx et z^ sont imaginaires conjugués, il suffit, si z est déjà réel, que Ton ait

Uq^z — Zq){z — Zi)':> o.

1° Supposons d'abord que a^ est positif : il faut que z vérifie

Tune des inégalités

Zy- Zq ou 2 < ^2

et par suite que t vérifie l'une des inégalités

/ > <0 OU t < h\

une sécante, menée par P et dont le coefficient angulaire est égal à 2^, rencontre alors la courbe en deux points réels. Donc si «0 est positif , on doit prendre u réel, 2° Supposons maintenant que a^ est négatif; t doit vérifier la double inégalité

h<t<to]

la sécante, menée par P et dont le coefficient angulaire est égal à 2^, ne rencontre plus la courbe. Les abscisses des points variables d'intersection

pu, p{u-{-ç)

doivent être imaginaires conjuguées. C'est cette condition qui, dans le cas actuel, va nous déterminer la forme de ii.

Posons u^=a -^ bi, a et b étant réels p{a + bi) et p{a — bi) sont des quantités imaginaires conjuguées : on le vérifie à l'aide de la formule d'addition. On doit donc avoir

p{v -{- a -^ bi) = p{a — bi) et, par suite,