PRÉFACE. IX

M. Hermite a dupipelées fonctions doublement périodiques de deuxième ou de troisième espèce, avec applications à l'équation de Lamé et aux équations de M. Picard, et par quelques notions élémentaires sur les fonctions modulaires qui fournissent l'exemple le plus simple des fonctions fuchsiennes et kleinéennes de M. Poincaré. Comme pour les fonctions elliptiques, nous donnons pour les fonctions doublement périodiques de deuxième espèce deux formes essentielles : décomposition en facteurs et décomposition en éléments simples, d'après M. Hermite; puis nous indiquons, pour les fonctions de troisième espèce, deux formes analogues, en employant l'élément simple introduit par M. Appell.

Les principales formules sont résumées dans un Tableau placé à la fin du Volume. Sauf dans l'exposé de la transformation de Landen, nous n'avons pas donné de Tables numériques, car, dans la plupart des cas, les séries définissant les fonctions à calculer sont si rapidement convergentes, que les premiers termes suffisent dans les applications. On trouvera des exemples de calculs numériques à la fin du Calcul intégral de M. J. Bertrand et dans les Tables de Holiel.

Nous espérons qu'après avoir étudié cet Ouvrage, le lecteur pourra se servir des fonctions elliptiques comme des fonctions trigonomé triques. Nous avons choisi des applications aussi variées que possible : on en trouvera d'autres, d'une grande élégance, dans le Traité de M. Greenliill. Quant aux développements théoriques, nous pensons avoir mis le lecteur à même de lire les grands Traités de Briot et Bouquet, d'Halphen, de MM. Tannery et Molk, et de se servir utilement des feuilles de M. Schwarz.

Paris, 27 septembre 1896.

NOTIONS PRÉLIMINAIRES

1 . Fonction régulière en un point. Zéros. — Une fonction d'une variable imaginaire u^= x -hyi est dite uniforme pour toutes les valeurs de u quand elle n'a qu'une valeur pour chaque valeur de u :

par exemple -> cosm, i^ngu sont des fonctions uniformes. On

dit aussi, en représentant la variable u = x +j^t par le point d'un plan de coordonnées x et y, que la fonction est uniforme dans tout le plan • Nous ne nous occuperons que de fonctions de cette nature. Une fonction uniforme /(w) est régulière en un point a quand on peut, dans un cercle ayant ce point comme centre, la développer par la formule de Taylor en une série procédant suivant les puissances positives croissantes de w — a

Zéros. — Une fonction y(w) régulière au point u-= a admet ce point comme zéro quand f{a) est nul : si f'{cL) n'est pas nul le zéro est simple. Si un certain nombre de dérivées /'(a), f"{a)j . . . sont nulles, f^"^{ci) étant la première dérivée non nulle, le zéro u = a est d'ordre n : on peut alors écrire le développement ci-

A. ET L. i

a CHAPITRE I.

dessus

(2) Au) = {u-aYg(u\

où le facteur g{u) est une série entière en (w — à) ne s'annulant pas pour u = a,

2. Points singuliers. Pôles. Résidus. Points singuliers essentiels. — Lorsqu'une fonction uniforme f{u) n'est pas régulière en un point déterminé a, on dit que ce point est un f oint singulier. C'est un point singulier isolé quand on peut décrire de a comme centre un cercle assez petit pour que la fonction n'ait pas d'autre point singulier dans ce cercle.

Pôles. — Un point singulier a est un pôle quand il est isolé et quand la fonction devient infinie en ce point à la façon d'une fraction rationnelle. Pour préciser, le point a est un pôle, quand la fonction /(w) devient infinie en ce point et qu'il existe une fraction rationnelle

telle que la différence

soit régulière au point a; les lettres A, A|, . . . , Aa 4 désignant des constantes. La fraction rationnelle ç(w) s'appelle la partie principale àe la fonction /(w) relative au pôle a; le coefficient A

de est le résidu relatif à ce pôle : l'entier a est l'ordre ou

degré du pôle. On a alors, dans un certain cercle de centre a,

g{u) étant une fonction régulière au point a : on en conclut, en réduisant le second membre au même dénominateur {u — a)°^,

(j{u) étant une fonction régulière au point a, différente de zéro pour u=^a.

NOTIONS PRELIMINAIRES

Nous dirons aussi que le point a esl un infini d'ordre a de la fonction.

Points singuliers essentiels, — Quand un point singulier n'est pas isolé ou qu'étant isolé il n'est pas un pôle, on dit qu'il est un point singulier essentiel. Nous ne nous occupons dans la suite que de fonctions dont les seuls points singuliers à distance finie sont des pôles.

3. Remarque sur les zéros et les pôles. — Si le point a est un zéro d'ordre n de la fonction /(w), il est un pôle simple de résidu n dans la dérivée logarithmique y^ — l ^^ effet, on a alors, dans le voisinage de u = a,

f(u) = {U'-a)'^g{u\ puis en prenant les logarithmes et les dérivées

fin) n f^'iu)

comme g{u) n'est pas nul pour u = a, le rapport est une

fonction régulière au point a; donc ce point est un pôle simple de résidu n de ^ » De même, si le point m = a est un pôle d'ordre a

dey*(w),ilest unpôle simple de résidu — a de ^ — • On a en effet, dans cette hypothèse, au voisinage de a,

d'où

comme G(u) ne s'annule pas pour u = a, -çt: — : est une fonction régulière en a et le théorème est démontré.

i. Point à rinûni. — Pour étudier une fonction f{u) de u quand u devient très grand, on fait u= —, et l'on suppose u' très petit. La fonction /{u) est dite régulière au point u = zo

quand/( — , ] est régulière au point w'= o : on a alors, pour des valeurs très petites de w',

et par suite, pour des valeurs très grandes de m,

f(u)=ao'\-ai — haïf— j -i-

Lorsque la fonction est ainsi régulière au point oo, le point oo est un zéro d'ordre n quand ao, a^ • • • > ^«-i sont nuls, an étant différent de zéro. La fonction s'annule alors à l'infini comme

Le point infini est un pôle ou un point singulier essentiel pour f{u) quand le point u'^o est un pôle ou un point essentiel pour

/(— )• Supposons que ce soit un pôle : alors, par définition, on a

pour de petites valeurs de u'

/( — ) = ~7-H -in-.. -H 7^ -h ao-h aiu' -^ aiu'^ -^. . .,

c'est-à-dire, pour de grandes valeurs de u,

/(m)= Am-h AiM^-i-.. .-4- Aa-iM*-4- ao-4- «1 — \-ai(—] H-. . ..

La partie

ç(w)=Am-4-Aiw'4-...-I- Aa-iM°^,

qui devient infinie au pôle w = oo, est la partie principale relative à ce pôle, a est l'ordre du pôle.

5. Remarque sur la convergence des séries. — Nous pouvons maintenant préciser un point important dans ce qui précède. Nous avons dit que la fonction /(w) uniforme dans tout le plan est régulière en a quand elle est développable par la formule de Taylor dans un cercle de centre a : cette série sera convergente dans le cercle ayant pour centre a et pour rayon la distance du point a au point singulier def{u) le plus rapproché de a.

NOTIONS PRELIMINAIR ES.

C'est là une proposition que nous admettrons pour ne pas allonger ce Chapitre.

6. Une fonction uniforme régulière en tous les points à distance finie et infinie est une constante. — En effet, la fonction supposée f{u) étant régulière au point m = o est développable en une série

convergente dans le cercle ayant l'origine comme centre et passant par le point singulier le plus rapproché de l'origine; comme, par hypothèse, il n'y a pas de points singuliers, cette série est convergente dans tout le plan. Pour étudier la fonction dans le voisinage du point 00, posons w ^ — ,; alors

Par hypothèse cette fonction est régulière au point w'= o : elle ne doit donc pas contenir dans son développement de puissances négatives de u' : donc tous les coefficients «i, a2, . . ., «/i, . . . sont nuls, sauf le premier a©, et l'on a

La fonction est une constante.

On peut énoncer ce résultat sous une autre forme, en disant qu'wne fonction uniforme partout finie (le point oo compris) est une constante. En effet, une fonction uniforme devient infinie en chacun de ses pôles; on peut en outre démontrer rigoureusement que, si la variable u tend vers un point singulier essentiel de la fonction suivant une loi convenablement choisie, le module de la fonction croît au delà de toute limite. Si donc une fonction uniforme est partout finie, elle ne peut pas avoir de points singuliers, elle est régulière partout et se réduit à une constante.

7. Les zéros et les pôles d'une fonction uniforme, n'ayant d'autres singularités que des pôles à distance finie, sont nécessairement isolés les uns des autres. — Nous voulons dire par là qu'il ne peut pas exister de point a du plan dans le voisinage immédiat duquel il

se trouve une infinité de pôles ou une infinité de zéros ; ou encore, quel que soit le point a, on peut toujours décrire de a comme centre un cercle avec un rayon assez petit pour que dans ce cercle il y ait : ou bien ni zéro ni pôle, ou bien un seul zéro sans pôle, ou bien un seul pôle sans zéro.

Ce fait résulte immédiatement des développements précédents. En effet, un point a étant marqué dans le plan, trois cas peuvent se présenter suivant que/(w) est régulière en a sans s'annuler en ce point, ou que f{u) admet le point a pour zéro, ou enfin que f{u) admet le point a pour pôle. Dans le premier cas, on peut décrire de a comme centre un cercle suffisamment petit pour qu'il n'y ait dans ce cercle ni zéro ni pôle; dans le second, on peut décrire un cercle suffisamment petit pour qu'il ne contienne pas de pôle et contienne le seul zéro M=:a; dans le troisième, on peut décrire un cercle ne contenant pas de zéro et contenant le seul pôle a.

D'après cela, si pour une fonction uniforme il existe un point a tel que, dans une aire aussi petite que l'on veut, entourant ce point, il existe soit une infinité de pôles soit une infinité de zéros, ce point est point singulier essentiel. En effet, la fonction n'est pas régulière en a; ce point est donc un point singulier. Il n'est pas un pôle, d'après ce que nous venons de voir; il est donc un point essentiel.

Nous allons, dans les deux paragraphes suivants, traiter, comme exemples, les fonctions rationnelles et les fonctions trigonométriques.

IL — Fractions rationnelles.

8. Objet du paragraphe. — Le lecteur connaît assurément les propriétés des fractions rationnelles : décomposition en fractions simples, utilité de cette décomposition pour l'intégration, décomposition en un quotient de deux produits de facteurs linéaires.

Nous reprenons brièvement cette théorie, en suivant une marche analogue à celle que nous emploierons plus loin pour obtenir l'expression générale des fonctions elliptiques, d'abord sous une forme toute semblable à celle d'une fraction rationnelle décomposée en fractions simples, puis sous une forme semblable à celle d'une

NOTIONS PRELIMINAIRES. 7

fraction rationnelle décomposée en un quotient de deux produits de facteurs linéaires.