Fraction rationnelle particulière. — La fonction

est régulière à distance finie en tous les points autres que w = i, u = 2. Ces deux points sont des pôles de premier ordre. La partie principale relative au pôle m = i est

en effet on vérifie immédiatement que la différence /(w) — cp^ [u) est régulière au point w = i. Le résidu relatif au pôle u =. i est — I . De même la partie principale relative au pôle w = 2 est

avec le résidu 2. Au point 00 la fonction est régulière, car

u' / {i — u ){i — -iu )

est régulière au point u' = o. On voit que w' = o, c'est-à-dire u = oo est un zéro simple. La fonction /{u) a donc deux pôles simples u = i^ u= 9. et deux zéros simples w = o, w = 00 : on dit qu'elle est d'ordre 2. On peut remarquer que l'équation

a deux racines quelle que soit la constante G.

Comme les fonctions ^i{u) et ^2{^i) sont régulières partout à distance finie et infinie, excepté aux pôles respectifs 1 et 2, la différence

est régulière partout à distance finie et infinie, y compris les pôles I et 2, d'après la définition des parties principales cp^ et <p2- Cette différence est donc une constante et, comme elle s'annule à l'infini, puisque chacune des fonctions /, cp^, çg s'y annule, elle

8 CJIAPITRE 1.

est égale à zéro. On a donc

/(m)=Oi(m)-+-9,(m),

formule que donnerait immédiatement la décomposition de la fraction rationnelle en fractions simples.

10. Cas général. Pôles et zéros. Ordre. — Une fraction rationnelle

où P et Q sont deux polynômes de degrés m et n, est une fonction qui, à distance finie et infinie, n'a d'autres points singuliers que des pôles. A distance finie elle a comme pôles les racines de Q(w)=o : le nombre des pôles à distance finie, en comptant chacun d'eux avec son degré de multiplicité, est donc n,

1° Si m > /i, le point oo est un pôle d'ordre m — /i. Le nombre total des pôles à distance finie et infinie est donc

11 y a aussi m zéros qui sont les racines de P(w)= o. La fraction a donc m pôles et m zéros : on dit qu'elle est d'ordre m. L'équation f(^u)=Cdim racines quel que soit C.

2** Si /i >> m le point oo est un zéro d'ordre n — m. La fraction a alors n pôles et un nombre égal de zéros, car il y en a /w à distance finie [les racines de P(w)] et n — m réunis à l'infini. La fraction est d'ordre n; l'équation y(w)= C a toujours n racines.

3® Si m = n, le point oo n'est ni un pôle ni un zéro : il y a encore autant de zéros que d'infinis : la fraction est d'ordre m = n.

En résumé une fonction rationnelle /(u) a toujours dans tout le plan, l'infini compris, autant de pôles que de zéros; le nombre des pôles ou des zéros est l'ordre de la fraction : réquationy*(r/)= C, a, quel que soit C, un nombre de racines égal à V ordre.

11. Formes analytiques principales des fractions rationnelles. — On peut mettre une fraction rationnelle sous deux formes dif-

NOTIONS PRÉLIltf INAIRES. 9

férentes suivant que l'on veut mettre en évidence les pôles et les parties principales, ou les pôles et les zéros.

1° Première forme mettant en évidence les pôles et les parties principales correspondantes. Décomposition en fractions simples. — Appelons a, b, . , ,^ l les pôles à distance finie respectivement d'ordre a, p, . . . , X et

les parties principales correspondantes. Supposons, pour plus de

généralité, que le point cx) soit un pôle, ce qui arrive si m > n; et

soit

m ( a) = Ml w -i- Mj w2 -4- . . . -4- M^ w*

la partie principale relative à ce pôle

Chacune de ces parties principales est régulière partout excepté au pôle correspondant. La différence

(5) f(u) — (fi(u) — ^2(u) —. . ,— m{u)

est donc régulière partout à distance finie et infinie. En effet, au pôle a la différence /( w ) — cpi (u) est régulière et les fonctions cp2, . . . , TU le sont. Il en est de même aux pôles 6, ...,/.

A l'infini, la différence f{u) — xî5(u) est régulière et les fonctions (pi, cp2, ... le sont aussi. Donc la différence (5), régulière partout, est une constante Mo, et l'on a

/(ï^) = Mo-f- Tn(M) -f- 3l( W) + (p2(M) -4-. . .,

(6) /(M)==Mo + M,MH-...+ M,a^ + Yr— — +...+ T-^^^l»

la somme S étant étendue à tous les pôles à distance finie.

On retrouve ainsi la formule élémentaire de décomposition des fractions rationnelles en fractions simples : elle met en évidence les pôles et les parties principales correspondantes, elle donne immédiatement l'intégrale d'une fraction rationnelle.

fO CHAPITRE I.

On peut écrire

/(u) = Mo+y [-A- + . . . + A?zi^] ,

•^ j^dlu — a {u — ^)*J

la somme S étant étendue à tous les pôles à distance finie et

infinie, si l'on convient que pour un pôle a rejeté à Tinfini

doive être remplacé par u, ou en abrégé que

u — a = — quand a = oo.

On remarquera que l'on peut prendre arbitrairement les parties principales relatives à tous les pôles ; à cet égard il y a une légère différence pour les fonctions elliptiques.

2** Deuxième forme mettant en évidence les zéros et les infinis. — La deuxième forme qu'on peut donner à une fraction rationnelle met en évidence les zéros et les infinis. Il suffit pour cela de décomposer les polynômes P et Q, qui forment le numérateur et le dénominateur de la fraction, en facteurs du premier degré

où certains facteurs peuvent être égaux.

3® La seconde forme déduite de la première, — Soit/(w) la fraction rationnelle considérée ayant pour zéros aj, a2, . . ., ol„i et pour pôles ^4 , p2j • • • ? pn*

La fonction "^^ est aussi une fraction rationnelle ayant pour

pôles simples les zéros et les infinis de f{u) (n® 3), les zéros simples avec le résidu -|-i et les pôles simples avec le résidu — i.

En mettant alors '^ sous la première forme (décomposition

en fractions simples) on a

u — pi W— p2 " ' u— ?n

NOTIONS PRELIMINAIRES. Il

Inlégrant et passant des logarithmes aux nombres, on retrouve l'expression (7).

12. Remarque. — Nous venons de voir qu'une fraction rationnelle n'a d'autres points singuliers que des pôles à distance finie et infinie. La réciproque est vraie. Une fonction uniforme n^ ayant d^ autres singularités à distance finie et infinie que des pôles est une fraction rationnelle. Nous nous bornons à rappeler ce théorème dont nous n'aurons pas à nous servir.

13. Relation algébrique entre deux fractions rationnelles. Théorème d'addition algébrique. — Entre deux fractions rationnelles

^ =/("), y=fi{i^)

a Heu une relation algébrique définissant une courbe unicursale, c'est-à-dire une courbe ayant le plus de points doubles possible. En outre, une fonction rationnelle f{u) admet un théorème d'addition algébrique, c'est-à-dire que, u et v désignant deux variables indépendantes, f{u 4- i') est une fonction algébrique de f{u) et f{i>).

ni. — Fonctions trigonométriques.

14. Objet du paragraphe. — Nous allons présenter les points fondamentaux de la théorie des fonctions trigonométriques, en suivant une voie identique à celle que nous suivrons dans le Chapitre suivant pour les fonctions elliptiques.

15. Fonction sini^, sa définition par un produit inûni. Fonctions

cot u et . , j leurs expressions par des séries. Périodicité de ces

fonctions. — La fonction sinw est régulière en tous les points à distance finie. Elle s'annule aux points

W = G, ^ 'î^> in 271

C'est ce que met en évidence la formule suivante que nous supposons connue et que nous considérons comme servant de

définition à sinu

in,^ = afj'(,-^)e-,

(8) sin

le produit II' étant étendu à toutes les valeurs de l'entier m de — cx) à -j-oo, la valeur m=zo exceptée. Grâce à la présence du

facteur e""^, le produit W est convergent quel que soit l'ordre des facteurs. Cette fonction sin m est impaire, c'est ce qu'on voit sur le produit (8). En effet, comme m prend toutes les valeurs de — 00 à 4- 00, on peut le changer de signe et écrire

sinu = u

nX'-^^)"''"""-

Changeant ensuite u en — u on voit, en comparant à (8), que sin ( — u) est égal à — sin u.

Le point oo est un point singulier essentiel de sin m : en effet, si

l'on fait u= —y on voit que, dans une aire aussi petite qu'on le

veut entourant le point w'=o, la fonction sin — admet une infinité

de zéros u' = D'après ce que nous avons vu (n** 7) le point

u'=o est donc un point singulier essentiel.

Fonction colu, —^ La fonction cota se déduit de sin m, par la

formule

d , cotM = -7- loer sm u, du

D'après la formule (8), on a donc pour cota la série

COt W = h ( ^ H - ) -H f 1 ) -4- . . .

U \U Tt 7t/ \U 271 271/

\M-t-7r TZJ \M-f-27t 271/

OU, sous forme condensée,

(9) COlU= - -4-V ( ! 1 —)y

U Jmd\u — m TU miz/ la somme S' étant étendue à toutes les valeurs de l'entier m

NOTIONS PRÉLIMINAIRES. l3

de — 00 à -h 00, la valeur zéro exceptée. La fonction coiu est aussi impaire. Le développement (9) montre qu'elle a pour pôles simples tous les points o, dz-, dz 21^, ..., le résidu relatif à chacun de ces pôles étant i . Par exemple, le point u = tz est un

pôle, et la différence

cet M

est régulière au point M = 7r. La formule (9) met donc en évidence les pôles et les parties principales correspondantes de la fonction. Le point m = 00 est un point singulier essentiel pour cotw comme pour sinw.

Fonction . ^ « — La fonction

(lO) . , =— -r- COtM = — -+-> 7 rr

' sin^u au u- jhtà {u — rrnzy

est paire. Elle a pour pôles doubles tous les points o, dzir, ±:2 7c, ...; la partie principale relative au pôle u = mTz est

Périodicité. — Des formules précédentes on peut déduire facilement la périodicité des fonctions circulaires. Tout d'abord

le développement (10) de . ^ montre immédiatement que cette

fonction ne change pas quand on ajoute tz k u, car cela ne fait que déplacer les termes du second membre.

On voit de même que la co tangente admet la période tt^ en effet, formant la différence cot(a -hTz) — cot w, on trouve

XW-f-TT U/ \U U 71/ \U 71 U — 2 71/

\M-f-27C U-\-TZ/ \U-+'3lZ U-^ITz) ***'

somme qui est évidemment nulle, car les termes se détruisent deux à deux.

Enfin de la relation

cot(w-h 7r)= COtM,

l4 CHAPITRE 1.

que nous venons d'établir, on peut déduire la périodicité de la fonction sin^. En effet, en intégrant les deux membres de la relation ci-dessus, on a

log sin(w -4-71)= log sina ■+■ logC, sin(M -i- 7r)= C sin {^,

OÙ C est une constante. Pour déterminer cette constante, faisons

TU

u = , nous aurons

sin— = G sini 1

et comme la fonction sinu est impaire on a

D'où la formule

sin(M -i-it) = — sin w.

Développements en séries de puissances. — Pour calculer les premiers termes du développement de colu en série de puissances dans le voisinage de u = o, on peut employer la méthode suivante analogue à celle qui nous servira pour les fonctions de M. Weierstrass. On a, pour u inférieur à mTz (en valeur absolue),

portant cette série dans le développement de colu et ordonnant par rapport aux puissances de u, on a une série de la forme

coiu= - —Si— - —S2-r —S:i ■——..,,

où l'on a posé

les sommes 7 — > 7 — r, > 7 — r> ••• sont évidemment nulles,

car m prend des valeurs deux à deux égales et de signes contraires.

On peut obtenir le développement de sin m en série entière en

NOTIONS PRELIMINAIRES. l5

intégrant le développement de cotw, ce qui donne

log sm u = log A -hlogw r — - -T — -TT-T— ...,

A désignant une constante d'intégration. Comme tend vers i

quand u tend vers o, on a A= i. Développant alors l'exponentielle en série, on obtient une série entière donnant sin^^. En identifiant le développement ainsi obtenu avec la série connue

sm a = u -4-

on obtient les valeurs des sommes St, S2, s^^ On trouve ainsi

Ces sommes sont bien connues : on les trouvera par exemple dans le Calcul différentiel de M. Bertrand, p. 421 : pour vérifier ainsi les valeurs ci-dessus, il faut se rappeler que

n = co

car, dans S', m varie de — oc à +00, zéro exclu.

Exercice. — Nous ne nous arrêterons pas plus longtemps à la théorie des fonctions sin M, cotw. Si Ton voulait établir une théorie complète de ces fonctions, en prenant comme seules définitions le produit (8) et la série (9), on pourrait, en suivant une analyse d'Eisenstein (^Journal de Crelle, t. 35, p. 191)? montrer que la fonction f(u)= cota, définie par la série (9), vérifie l'équation

différentielle

-— - = o, ou —

En portant le développement de cot u en série de puissances dans celte équation et écrivant qu'elle est vérifiée quel que soit u, on aurait un autre moyen de calculer de proche en proche les sommes s^. Nous indiquons ces résultats à titre d'exercice.

l6 CHAPITRE I.

16. Fonctions trigonométriques en général. — On peut appeler d'une manière générale fonction tri gonomé trique une fonction f{iC) rationnelle en cota, car le sinus et le cosinus d'un arc s'expriment rationnellement en fonction de la cotangente de l'arc moitié que l'on peut toujours désigner par u. Une fonction trîgonométrique, ainsi définie, est uniforme; elle n'a d'autres points singuliers à distance finie que des pôles ; elle ne change pas quand on ajoute à a un multiple quelconque positif ou négatif de ii : c'est ce que l'on exprime en disant que la fonction admet la période primitive tt, ses autres périodes dzaii, diSu, ... étant des multiples de la période primitive.

On peut mettre une fonction trigonométrique sous deux formes remarquables. L'une est analogue à la formule de décomposition des fractions rationnelles en fractions simples; l'élément de cette décomposition est la fonction cot(M — a) et ses dérivées; c'est ce que l'on pourra voir dans le Traité d^ Analyse de M. Hermite, p. 321. L'autre forme est analogue à celle qui donne une fraction rationnelle sous forme du quotient de deux produits de facteurs linéaires; l'élément qui remplace les facteurs linéaires est sin(M — a). Nous ne nous arrêterons pas à établir ces formules qui nous sont inutiles pour la suite.

Relations algébriques. — Entre deux fonctions trigonométriques

de même période u, a lieu une relation algébrique définissant encore une courbe unicursale, cds f ei f^ sont des fonctions rationnelles de coiu.

Théorème d^ addition algébrique. — Une fonction trigonométrique f{u) admet un théorème d'addition algébrique : f{u + v) est une fonction algébrique de/(w) ei f[v).

Remarque sur la période des fonctions trigonométriques. — Les fonctions que nous venons de considérer admettent la période TC

f{u + Tz)=f{u).

Il est évident que par un changement linéaire de variable on peut

NOTIONS PRÉLIMINAIRES. I7

faire en sorte qu'elles admettent une période quelconque 2(o. II suffit de poser

on a alors

/,(tt'-h2U)) = /i(w').

GÉNÉRAUTÉS SUR LES FONCTIONS ELUPTIQUES.

17. Déûnition. — Nous avons dit qu'une fraction rationnelle est caractérisée par la propriété d'être une fonction uniforme n'ajant d'autres singularités que des pôles.

Nous avons remarqué également qu'une fonction trigonométrique (fonction rationnelle de cot^ou de sin2i/ etcossa) est une fonction n'ayant d'autres singularités à distance finie que des pôles et admettant des périodes qui peuvent toutes être composées par addition et soustraction avec une seule période primitive tz. Mais ces propriétés ne caractérisent pas les fonctions trigonométriques : elles appartiennent par exemple à e*'"'" qui n'est pas une de ces fonctions. Pour achever de caractériser une fonction trigonométrique, il faudrait ajouter cette condition qu'elle possède un théorème d'addition algébrique.

Nous définirons d'une façon analogue les fonctions elliptiques par les propriétés suivantes, qui les caractérisent complètement :

On appelle fonction elliptique une fonction uniforme n^ ayant, à distance finie, d^ autres singularités que des pôles et admettant des périodes qui peuvent toutes être composées par addition et soustraction avec àexxn périodes primitives 2w et 2 0)'.

La fonction admet donc les deux périodes 2(0 et a co'; on dit qu'elle est doublement périodique, tandis que les fonctions trigonométriquessont 5//n/?/e/ne/i^ périodiques. EllevériGe les relations

(11) /(w + 2w)=/(w), /(w-^2a)') = /(M), d'où l'on conclut

(12) /(m -j- 2/720) -h 2na)') = /(M),

m et n désignant des entiers positifs, négatifs ou nuls.

GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS ELLIPT IQ t KS. 19

Nous admettrons que le rapport — est imaginaire; s'il élait

réel, la fonction se réduirait à une fonction simplement périodique ou à une constante. C'est là un fait dont on trouvera la démonstration dans la Note I et que Ton peut admettre pour ne pas interrompre l'exposition.

Les fonctions elliptiques sont ainsi définies in abslracto. Nous allons définir, par des séries, les éléments analytiques à l'aide desquels on peut exprimer toutes les fonctions elliptiques. Nous indiquerons en même temps leurs principales propriétés, parmi lesquelles nous signalerons dès à présent l'existence d'un théorème d'addition algébrique et l'existence d'une relation algébrique entre deux fonctions elliptiques aux mêmes périodes.

Une première propriété, résultant immédiatement de la définilion même, est celle-ci : La dérivée d^ une fonction elliptique est encore une fonction elliptique. En effet, les relations (i i) ayant lieu quel que soit u donnent par différentiation

f'{U^'Xiu')=f(u).

La dérivée /'(f^) admet donc les périodes 2w et aw'; elle est uniforme comme y*(w) el ses seuls points singuliers à distance finie sont des pôles, car si f(u) est régulière en un point il en est de même de f\u)t et si f{u) a un pôle en un point il en est de même de/'(w).

18. Parallélogrammes des périodes. — La double périodicité peut se représenter géométriquement comme il suit. Soit Uq une quantité imaginaire constante, choisie au hasard; considérons dans le plan représentatif les points représentant les quantités

MOî Uodz^tsij Mo— 20)', Mo ± 2 *0 ± 2 O)'

et, en général,

Mo -h 2 m 0) -T- 2 /i o)' ,

où m et n sont des entiers quelconques positifs, négatifs ou nuls; ces points forment les sommets d'un réseau de parallélogrammes tous égaux au parallélogramme P, qui a pour sommets les

points

Mo, Uo-^2U)^ Mo-r-^O)', M© -•- 2 (o -h 2 0)',

et recouvrant tout le plan.

Si u est un point quelconque du plan, il se trouve dans un de ces parallélogrammes, le parallélogramme P, par exemple; le point u-{'2(ù est dans un parallélogramme voisin dans lequel il

Fig. I.

Uyp-t'Sd)^^, p

occupe la même position que u dans P'; en général, les points a + 2/n(o-|-2/io)' sont tous dans des parallélogrammes différents; ils occupent dans chacun d'eux la même place que u dans P; nous avons figuré quelques-uns de ces points. On dit, pour abréger, que ces points sont des points homologues ou congruents du réseau des parallélogrammes. L'un quelconque de ces parallélogrammes s'appelle parallélogramme des périodes ou parallélogramme élémentaire.

Les relations (i i) expriment que la fonction f{u) reprend la même valeur en tous les points homologues. Il suffit donc de connaître la fonction f{u) dans un des parallélogrammes, P par exemple, pour la connaître dans tout le plan.

19. Théorème fondamental. Une fonction elliptique devient nécessairement inûnie dans un parallélogramme élémentaire , sinon elle se réduit à une constante. — En effet, si une fonction elliptique était finie, dans un parallélogramme élémentaire, elle serait finie, en tous les points à distance finie ou infinie^ à cause de la double périodicité; ce serait donc une constante (n® 6).

GÉNÉRALITÉS StR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. '21

20. Une fonction elliptique a un nombre limité de pôles dans un parallélogramme élémentaire. — Le théorème précédent montre qu'une fonction elliptique a au moins un pôle dans un parallélogramme; nous voulons montrer qu'elle en a un nombre limité. En effet, supposons que, dans P, une fonction /(m) ait une infinité de pôles; divisons le parallélogramme en quatre en joignant les

Fig. 2.

milieux des côtés; dans un de ces quatre parallélogrammes au moins il y a une infinité de pôles. Divisons-le encore en quatre en joignant les milieux des côtés; dans un des nouveaux parallélogrammes au moins, il y a une infinité de pôles. En continuant ainsi, on obtient une suite de parallélogrammes tendant vers un point a du plan et contenant tous une infinité de pôles. En ce point a la fonction n'est évidemment pas régulière : le point a est donc un point singulier; mais il ne peut pas être un pôle, car un pôle est nécessairement isolé et nous venons de voir que, dans une aire aussi petite qu'on le veut autour de a, il existe une infinité de pôles. Ce point est donc un point singulier essentiel de la fonction, ce qui est impossible, puisqu'une fonction elliptique, par définition, n^a d^ autres points singuliers que des pôles dans un parallélogramme.

Le théorème que nous venons de démontrer est d'ailleurs une conséquence immédiate de la proposition générale du n** 7.

Ainsi, une fonction elliptique a un nombre limité de pôles dans un parallélogramme élémentaire, tout comme une fraction rationnelle en a un nombre limité dans tout le plan.

Nous allons donner une première expression analytique des fonctions elliptiques mettant en évidence ces pôles et leurs parties principales^ celle expression jouera le même rôle que la formule de décomposition des fractions rationnelles en fractions simples.

Voici comment on forme la fonction qui joue dans la théorie des fonctions elliptiques le même rôle que la fraction simple

dans la théorie des fractions rationnelle^.

21. Fonctions a*, Ç, p, Z, H. — Nous avons rappelé précédemment le développement en produit de sin u

.in« = «Jj(,-^)e-x,

mettant en évidence les zéros : o, diu, dz 2ti de cette fonctioq.

Par analogie nous allons former avec M. Weierstrass une fonction régulière, comme le sinus, en tous les points à distance finie et admettant comme zéros le point m = o et tous les points

innn

m = o, ±1, =fc 2, ...

homologues de l'origine dans le réseau des parallélogrammes. Posons, pour abréger,

w •= 2 ma) -H 2/10)',

et considérons la fonction définie par la formule

m = o, =r:i,i]=2, ...,=nQO

— le w

n = Oj 3: 1,

w = 1 m U) -h 2/1(3)' w = o exclus

QO

dans laquelle il faut, pour former le produit infini, attribuer à la quantité iv toutes les valeurs contenues dans l'expression 2 m 0) -I- 2/10)', à l'exception de la seule valeur o qui correspond à m= n = o.

Quand cette exception doit être observée dans un produit infini ou dans une somme infinie, nous le rappelons en faisant suivre d'un accent la caractéristique II ou S du produit ou de la somme. Actuellement, nous admettons la convergence du produit (i3); on en trouvera une démonstration dans la Note II.

La fonction (^u ainsi définie s'annule seulement aux points f^ = o et w = w = 2m(o 4- 2/iw'; elle ne devient jamais infinie

pour des valeurs finies de u. On voit que cette fonction a un zéro simple et un seul dans chaque parallélogramme élémentaire. Tous ces zéros sont des points homologues du réseau de parallélogrammes.

Cette fonction d est impaire comme un sinus

en effet, comme m ein prennent toutes les valeurs de — oo à +qo, on peut, dans l'expression du produit, changer /w et /i de signes sans changer ce produit; on a donc aussi

a'«=«Jj'(,+ |)

Mais alors, en changeant uen — a et comparant au produit (i 3), on voit que (^( — u) = — (iu.

Enfin, il résulte du produit infini que le rapport — tend vers i

quand u tend vers zéro.

De même que l'on déduit la fonction coiu de sin«, en prenant la dérivée logarithmique, nous considérerons la fonction obtenue en prenant la dérivée logarithmique de (^u

(i4) ïtt= — 4 — = — = - + > 1 1 — - .

^ ' au cru u ^^ yu — w w w^ \

Nous désignerons pour abréger cette nouvelle fonction par

— (a) ou X^u, La série qui définit X^u est analogue à celle qui dé-

finit eolu. Elle montre que la fonction 2^ m a pour pôles simples tous les points w = o, f^ = 2/?zw-i-2/io)', avec le résidu + i . En effet, la différence

u — 2ma> — î/io)

OÙ m et Al sont des entiers déterminés, est régulière au point M == 2 m w -H 2 /i 0)'. La fonction X^ a donc un pôle simple de résidu -j- I dans chaque parallélogramme élémentaire. Il en est de même de la fonction 2^(m — a), où a est une constante; cette fonction a comme seuls points singuliers les points a = a et M = a4- 2/nw -h 2/10)', qui sont des pôles du premier ordre de

'i4 CHAPITRE II.

iTHidii -f- 1 ; il y a un de ces pôles et un seul dans chaque parallélogramme. Ainsi M = a est un pôle et la différence 2^ (w — a) — —

est régulière au point u = a.

La fonction ^u est impaire comme la cotangente; on peut le vérifier directement ou le conclure de ce que du étant impaire, sa

dérivée d' u est paire et le quotient — impair.

Pour étudier les propriétés de cette fonction prenons-en la dérivée et appelons pu cette dérivée changée de signe

/ I. V ^* lOffS'M I v^T ' I 1

celle fonction étant la dérivée d'une fonction impaire est paire : elle a pour pôles doubles les points // = o, w = 2mci) -|- 2/ici>^;.la