V -^ a -h bi = -±i{a — bi)-\- 2/nuji-t

Prenons d'abord le signe — ; l'égalité devient

= /w(a)2 — Wj)-!- /i(a>j-+- coj).

Comme a e\. v sont réels, on doit avoir /i = m, et l'égalité résolue par rapport à a devient

a = h /nti)»;

il suffit de donner à m les valeurs o et i . Pour m = o, u-{- - est

purement imaginaire. Pour /w= i , u-\ — est égal à une quantité

966 CBAttT» riii.

parement imagiDiire angmenlëe de t4|. Hais ce cas rcnUc dans le

précédent û l'on remarque qae (n* 13K)

RécifaoqnemeDtileitfaciledeTérifier que, poumuarguiueDi u | de la forme

où b déaigae nn nombre réel, t est réel et compris entre t^ et 1%. j Eo effet, puisque 3 f est le coefficient angulaire de la sécante allant 1 do pointPdontle paramètre est eau point dont le paramètre est a, on a

i l'on prend

U, = — iu^'9).

pu — pu,

et l'on voit que pu et pu, d'une part, p'u et p'u, d'autre part, sont des quantités imaginaires conjuguées. Donc l est réel. De plus la sécante menée par P et de coefficient angulaire 2 1, rencontrant encore la courbe en deux points dont les abscisses sont des quantités imaginaires, t est nécessairement compris entre t^ et fi- Donc à une valeur de m de la forme considérée correspondent des valeurs réelles de z et de \/F(z),

Nous avons choisi le signe — dans l'égalité exprimant que pu etp(u-l-c) sont imaginaires conjuguées. En choisissant le signe + dans la même égalité, on serait conduit à des arguments pour lesquels pu etp(u-t-i') seraient bien encore des quantités imaginaires conjuguées, mais ne rendant pas réels z et y'F(s).

Ainsi, quand a^est négatif, il faut prendre u H — purement imaginaire.

166. Résumé. — Pour que z et \/F{z) soient réels tous les deux :