US
169. Intégration par les fonctions elliptiques. — La relation (i) peut être considérée comme une équation différentielle du second ordre de la courbe. Nous allons intégrer cette équation. En désignant par s Tare de la courbe compté à partir d'une origine fixe et par ô l'angle de O x avec la tangente supposée menée dans le sens qui correspond aux arcs croissants {fig* i4) p» i84), on a
-v-=cos0, ~- = — sm0.
as as
De la première égalité l'on déduit, par différentiation,
'd^=-''''^'ds'
puis, en remplaçant sinO et -7- = - par leurs valeurs,
d^x __ C dy
Intégrons, ce qui donne
^ ' ds a^
D désignant une nouvelle constante, et portons l'expression ainsi
obtenue de -j- dans la relation ds
[dyy fdxy
ydS) =''~\di) '
il vient
170. Inversion. — En remarquant que le polynôme du quatrième degré dont on veut faire l'inversion est bicarré, on est conduit à appliquer de la façon suivante la méthode donnée au n° 1Ô7.
Posons, en adoptant les notations du Chap. VI, § 1,
(4) z=i p:ii j
^^^ a 1 pu — e^
on sait que l'on a
(5) (pM — C2)tp(w-+- W2)— c,] = (e2— ci)(c, — es),
yt
(6) (pw — e2)-i-[p(M-Ho»f)— ej]= ^ — 3e,
ï;3 cb&pitki VIII.
et, par Buite,
(7) (ë-3«i)*-4(«'i-«i)(«.-«.)=[j>(«+w,)-p«lt=^'^(^y
Pour ïdenlifier le poljmome du quatrième degré qui forme le ! premier membre de celte ëgalité avec le second membre de l'égalité (3), nous mettrons cette égalité (3) sous la forniu
et il Dous suffira ensuite de poser
On voit que e, — «i et e^ — e^ soat les racines d'une équalîûn ( second degré dont le discriminaat est
Nous nous bornerons dans tout ce qui suit au cas de D*<^ i. On reconnattaisément que cette inégalité doit être vérifiée si la courbe présente ud point d'inflexion, comme cela a lieu pour le prisme droit chargé debout : en effet, pour que p puisse devenir infini, il
c'est-à-dire, d'après (8), q«eD= — i soit négatif. Celte hypothèse correspond au premier cas du n" Ï26- Alors, Ct étantréel, e, ele^ sont imaginaires conjugués; on peut prendre, comme périodes primitives de la fouctionjiu, deux quantités imaginaires conjuguées : nous les désignons par u, et tO] et nous conservons les notations du§I, Chap. VI.
Ayant ainsi identifié les premiers membres des égalités {7) et (8), nous avons
et par suite
(9) adu — Cids,
APPLICATIONS DIVERSES. T.y'i
en supposaut convenablement choisi le sens dans lequel l'arc s est compté.
Dans l'égalité (2) remplaçons ds par ^.du et ^ par sa valeur
— 3^2, il vient
i dx y^
et, en tenant compte de la relation (6),
(il) - ^ =pa + p(i«-4-t02) — 262.
On a immédiatement l'intégrale du second membre .et l'on trouve (12) — = i[ÇM-h Ç(a -Ha>2)-h2we2] -h const.
