Nature de l'argument. — Voyons comment doit varier u

pour que j^eti/i — (C^ + Dj soient tous les deux réels. La relation déjà établie

adu = Glds

montre que u est nécessairement imaginaire. Posons

u = h -h it^

h et t désignant des quantités réelles.

On a trouvé, en faisant l'inversion,

et il en résulte

D'après cela, p(ct>2 + A + i'^) doit être la quantité imaginaire conjuguée de p(A + i7), on doit donc avoir

p(w2-+- A -h tV)= p(A — it) et par suite

{ù^-\- h -\- it =ifc(A — it)-h 7.7rniii-\- 2^10)3, A. ET L. 18

274 CBAPITEI IX.

m et n désignant des nombres entiers. Si ron prenait le signe +, h disparaîtrait et t ne pourrait varier d'une manière continne. En prenant le signe — , l'égalité devient

le premier membre étant réel, il faut que n = m et Ton trouve alors

Il suffit de donner à m les valeurs o et i • Pour m = o, tt + ^

est purement imaginaire. Pour m = i , a H — - n'est plus purement

imaginaire ; mais ce cas se rataène au précédent, à cause de la formule

On aura donc, en résumé, à prendre pour u des valeurs de la forme

/ étant une variable réelle.

Remarquons de suite que l'égalité

adu = Qtids devient

(i4) a dt = C ds.

172. Expressions de ar et de j^. — Remplaçons u par sa valeur en fonction de t dans les relations (12) et (4); il vient

en supposant l'axe des y choisi de façon que x = o pour ^ = o, puis

(If)) ^

a / ai2 . ,

Cette valeur de y peut s'écrire successivement en se servant des

APPLICATIONS DIVERSES. 2y5

relations (65) et (64) du n® 44

« p(.-0-pîJ

A, yo désignant des constantes et y^ étant la valeur que prend y pour ^ = o.

173. Intervalle dans lequel il suffit de faire varier t, — En tenant compte de la périodicité des fonctions de t qui figurent dans les expressions de x et de y^ cherchons dans quel intervalle il suffit de faire varier la variable réelle t.

Quand on change ^ en ^ H ^^ y i^e change pas, x augmente

de la quantité constante ^h définie par l'égalité

(l8) " = Î(^2 + ^2W'2)= «(^3— >)1-H eîW'j),

où Ton a posé

TQl=Ç((Oi), TQ3= ^(0)3).

Il suffit de faire varier ^ de ^0 à ^oH ^- Si l'on change t en

— t^ y ne change pas, x change de signe. Donc si l'on faisait varier f de :^ à H 1^ » la branche de courbe ainsi obtenue serait

symétrique par rapport à Oy\ il suffit de faire varier ^ de o à -:^« On peut encore restreindre cet intervalle; soient t^ et ti deux valeurs de t ayant pour demi-somme -A

•2i 'Il

soient X\ , y\ et;r2, yi les coordonnées des points correspondants, on a

7i-»-rî= O' -(071-1-3:2)= A,

Vj6 CHAPItRI IX.

h étutt U constante |définie par VépHU (18). Donc, li Ton &ûut varier f de o & -4. U briDche de courbe aioai obteuoe aurait pour centre le point ^= o, «= A : U suffît «Je faire varier (de o à— .• Considérons les points de U coarbe qoi correspondent aox valeurs extrêmes de cet intervalle fo, ^ V Pour /:=-^on û. jr^o d'après la formule (16] et

^ = i(Cw»— ;»,-i-»;«0 = -'

d'après la formule (1 S). Ce point j'^ o, x^lt est le cenire dont nous venons de constater Texistence. Ce point est en même temps un point d'inflexion, comme cela résulte de la formule

Pour t^o, on a « = et>'=:^i. Cherchons la tangente ao

point correspondant de la courbe. Si l'on fait u = + ù dans

les égalités (7) et (1 1), elles deviennent

jS-H?-")-Kt-')].

On voilque, pour f :=o, ^ est nul et -jr est égala 'i(p~ — pf^nji quantité plus grande que zéro. Donc la tangente est parallèle à 0:r, c'est-à-dire à la direction de la force élastique ; de plus, comme Oy est un axe de symétrie, le point correspondant à 2 = o est un sommet.

174. Construction de la courbe. — Supposons niaintenantque/ croit de o à — ? ■ A cause de l'égalité

S va constamment en croissant. L'égalité

p(.V)-pîJ

montre que y va sans cesse en décroissant; nous avons déjà remarqué que y pari de jko pour arriver à zéro; il en résulte que yo est positif et que la valeur absolue de^ décroît constamment. Pour voir comment varie x reportons-nous à l'égalité (20) qui

donne la valeur de -77 • Puisque la valeur absolue de y va sans

cesse en décroissant, il en est de même de -j-* Pour ^:= o, la va-

' dt '

leur de -^ est positive; pour t= -A, y étant nul, -j- est égal

à — 3^2» Donc si Ton a €2<Co, -^- est constamment positive, si

Ton a e2> o^ -Tj décroît constamment depuis une valeur positive jusqu'à une valeur négative et change une fois de signe dans l'intervalle ( 0, — ? j- En faisant varier t au dehors de cet intervalle,

on a des arcs de courbes se déduisant du précédent par symétrie par rapport à Oy et par rapport à des centres situés sur Ox ayant pour abscisses di A, ii= 2/i, . . . , ih nh.

Nous pouvons maintenant reconnaître la forme de la courbe en supposant successivement que 62 est négatif, nul ou positif.

Fig. 21.

Fig. 22.

Fig. 23.

Ces trois cas conduisent aux formes àes fig. 21, 22 et 28. Dans

Vjt CI&I-ITNE IX.

i*Jtg- i4(I)iP- i84>on A reprétfoU' seulement un arc tel que V*rea\ba, Atïtfig, ai. Dau ctni nouvelles ligures nous suppo- «HI8 l'axe Oy horisoDlal.

n. — Mmi MnlT CIURGK DSBOIT.

175. ÉMMWé de la qnaatloa. — Une verge élastique droite, dans Bon état oatnrel, estencastrfe verliciilemenl A l'une de ses extrémités Ma- L'aatre extrémité H, supporte un poids P. On demande la forme de la ver^ élastique dans la position d'éqoilibre.

Ce problème est an cas particalîn- da précédent. Dans le cas actuel, il n'y a pas de couple appliqué en M| : le moment fléchissant en ce point, - est donc nul, p est infini; le point Ui «stsBpoiBt d'inflexion. Au même point H| la force élastique est directement opposée au poids P : elle est donc verticale et dirigée de bas en haut. En H), d'après la façon dont la tige est supposée aicastrée, la tangente est verticale, et par suite parallèle à la force élastique. D'après ce que nous avons vu n" 173, le point H« est on sommet tel que a {fig- ai, 22, aS).

On pourra donc prendre les valeurs suivantes du paramètre ( : l = o, pour le point M«,

( = (îrt-i-i)— ?i pour le point M|,

n désignant un nombre entier et positif. Soit / la longueur de l'arc M(,M, ; puisque ds =■ -ç. dt, on devra avoir

Écrivons maintenant que la force élastique est égale et directement opposée au poids P et rappelons-nous que, en mettant le problème en équation, nous avons posé (n" 126)

Nous trouvons comme nouvelle condition

carT, qui est constant tout le long de la fibre moyenne du prisme, est ici égale à P.

176. Nombre de solutions. — Entre les deux égalités (i) et (2) éliminons a et remplaçons C par sa valeur

Q =2/(62— ei)(e2— 63), nous trouvons la condition

qui ne dépend plus que des éléments elliptiques et des données numériques qui définissent Texpérience. La discussion de cette égalité nous conduira au nombre des solutions du problème. Cette égalité peut s'écrire

«) Bûl^-(^)V(..-«.K.......

Or, nous avons vu (n<* 138) que l'on a

k\ étant une quantité réelle comprise entre o et i, et p ayant pour valeur

p =v/(ej — ei)(e2— 63),

comme on le voit en multipliant membre à membre les expressions de e-i — e\ et e^ — e^ du n** 138. Le deuxième membre de l'équation (4) est donc le carré de l'expression

2 r2 <fcp

'^ X /i — A-'i« sin!

qui est supérieure à 1, car elle croît constamment de i à 00 quand k'^ croît de o à i. D'après cela, l'équation de condition (4) donne pour k"^ une seule valeur comprise entre o et 1 si l'on a

GBAPITIB IX.

Si dooc — t/s eit compris entre (av4-i) cl faisant sncceBsiTemeat

OD aara v éqaatiODS en ^''admettant ckacaneaRe racine comprise entre o et i et, par suite, il y aura y positions d'équilibre. Si l'on a "

Vi/I<

il n'existe plas de valeor de k'* comprise entre o et i; îl n'j a plus de forme d'équilibre autre que la ligne droite. Dans ce cai, le prisme droit chaîné debout est en équilibre stable.