III. — CODBBB iUSTIQDI PLANB SOUS ^BKBSION NOMULB DMIVOBIIK
177. tinoaoé et mite en équation. — Il s'agît de trouver la figure d'équilibre d'une verge élastique qui dans son état naturel était de forme rectiligue ou circulaire et qui est soumise à l'action de forces définies de la façon suivante : A chacune des extrémités de l'élastique agissent une force et un couple; en outre, sur chaque élément de l'arc ai^it une pression normale à l'élément, contenue dans le plan de la fibre moyenne et proportionnelle à la longueur de l'élémenl. Pour se représenler ces données, on peut considérer une chaudière cj'lindrique et la verge découpée dans la surface de cette chaudière par deux plans perpendiculaires aux génératrices du cj-lindre et très voisins l'un de l'autre. Ce problème a été résolu par M. Maurice Lévj.
Soient Fg et M,, la force et le moment du couple qui agissent sur la verge à l'une de ses extrémités A^. Si l'on coupait l'élastique en l'un de ses points A il faudrait, pour maintenir l'équilibre, introduire une force et un couple. Soient F la force et M le moment du couple. Pour définir avec précision la pression sur un élément d'arc, comptons sur la courbe l'arc s à partir d'une origine fixe dans un sens déterminé et rapportons la courbe à deux axes rectan-
gulaires Ox et Oy. Soient St l'arc qui correspond à un point A| de la courbe, dst un élément d'arc compté à partir de ce point, ai l'angle que fait Ox avec la tangente en A<, cette tangente étant menée dans le sens où l'arc va en croissant.
La pression qui s'exerce sur l'élément dst a pour intensité p ds\ , p désignant une constante : nous la regarderons comme positive
lorsqu'elle s'exerce dans le sens a^ + - de sorte que ses projections sur les deux axes sont
jD ûf^i cos f ai H — \j p ds isxïil ai -\- -U
ou bien
— /?</5isinai, p dsiCOSOLi, ou bien
—pdyu pdxi.
Exprimons que les forces agissant sur l'élément AqA se font équilibre.
Nous écrirons d'abord que la somme des projections des forces sur chacun des deux axes est nulle. Nous avons, en désignant par X, Y les projections de F, par Xq, Yq celles de Fq,
Y -f- Yo -r- //? dxi = o.
Ces égalités peuvent s'écrire
i Y=— /?(ar— a),
en désignant par x, y les coordonnées du point A et par a et 6 des constantes. Elles expriment que la perpendiculaire menée en A à la direction de la force va passer par un point O' de coordonnées a et 6, qui reste fixe quand on fait varier la position du point A. Ce point se nomme centre des forces élastiques.
Nous prendrons ce point O' comme nouvelle origine en transportant les axes parallèlement à eux-mêmes. Alors les projections de F deviennent
aSS OBAVlTRE t\.
et son moment par rapport «n ]>oint O' esl
on * ainu l'intensité et le sens At: U forne F.
Noas allons écrire maintenant (|uc la somme des moments par rapport an point Œ est nulle. D'uprés la ihéorie do réiasticité, le moment M da couple tjn'il faui joitulre à la force F pour avoir TactioD exercée en A sur Tare A» A est donné par la formule
m désignant an facteur constant et positif, f le rajon de conriinre en A dans la position d'équilibre considérée, c'est-i-dire.^r p«Ie rs;oo de courbure au point A dans la position naturelle.
D'autre part, le moment de la pression s'exerçaat sur l'élément dst , ajant pour coordonnées ^i^yu est
p(a!idx,-i-}',dyi)=p-^;
les moments de la force et do couple correspondant au point A« sont des constantes. On a donc, en écrivant que la somme des momenls des forces appliquées à l'arc A«A est nulle,
ml )or'+— / dr] = consl.,
Vp Po/ ■iJr,
ou, en modifiant la valeur de la consianie,
L'égalité résolue par rapport à - est de la forme
P A ei B désignant des conslanles. En particulier A ^ — • de sorte que A est positif; B peut avoir un signe quelconque ; les coefficients numériques ont été mis pour simplifier l'écriture dans tes calculs suivants.
Cette égalité peut être considérée comme une équation difiérentielle définissant la courbe élastique
178. Tableau de formules. {Courbe élastique sous pression normale
constante.)
dir^
ds]
p r dr
(6) i|iZ =2Ar'+2B,
(7) /ï— = Ar^-hîiBrî+G, ûr5î= c?rî-h /•» rfô*
(8) I /^y = r»— (Ar*+2Br«-hC)«, (9)
rfe
(II
2 pa — pp ( z^— 3p(^ =[pM — p(^] -f-[p(M-l-p) — pp],
(12) Z=.(32-3pp)2-2(pV — 25pV) = [pi*~p(w4-P)]2,
(13) 2(pV — 2>3pV) = 7-2,
on supposera o <,i><, (à, pt'>^i, p'p<o, p''i'>o. (i5) /•»- (Ar^-f-Br2-f-G)«=-[pw— p(M + p)]2 = ~/'^y,
(l6) ûfw = j-y
(17) A/''»-t-2Br2-h G = [pw — pp]-l-[p(w + p)— pp],
(18) '^^zrr.= ^ ■ ^
c?a pw — pç' p(u-^v) — pi> //fi
(19) -^li—= ^(u-hv) — Ç(m — p) — 2Çi^
(21) u = — itj
(22) r2 = I p ^^ 4- iVJ - pc;J ^p (J. If j — pi'J ,
<^"S-jK^")*<;-'')]-;Kt*'')*<t-')]-'5-
a84 CHApcTKi! i\.
179. i B légTlI t o n par 1m fonctions elliptiqDeB. — Nous alloas d'abord éUblîr une formule donminl le rayon de courbure d'une coarbe définie eo coordonnées poUîros
On «, en ^et, en désignant jtar k l'angle àe la tangcole avec 0«:
r*M=i r ily — y dx.
»sin
.-j-to...
i(rty
[«cosa
oa cdBii
D'après celle formule, l'éqaalion différentielle de la conrbe peul s'écrire
En intégraDt et en désignant par C une nouvelle constanie
En élevant au carré les deux membres de celle égalité (7) et en nous servant de la formule
nous pourrons éliminer à^. Nous trouverons ainsi l'équation
(8) ifË^^'^r'-CAr'+îBr'+C)',
(jui définît ;■* comme fonction elliptique de l'arc s. L'angle 9 est ensuite déterminé par la formule
On définit ainsi les coordonnées polaires r et 6 d'un point de la courbe en fonclion de la variable s. Le calcul effectif est dû à Halphen.
180. Inversion. — On a vu, en étudiant Tinversion (n® 157), que si l'on pose
(lo) z= ~ ^ ^—y
1 pu — pv
on a
j P>-2^pV = 2[ptt — pp][p(M-hP) — pp],
/ z^— 3pv =(pu — pç)-h[p{u -h v) - pv],
de sorte que
(12) Z ={z^ — ^pvY— lip" V — izp' v) = [pu — p{u -\- v)Y,
et par suite z et y/Z s'expriment en fonction uniforme de u. Si Ton pose
(i3) 2(p''p — izp'v)= r',
le polynôme Z se ramène à la forme
(A'r*-i-2B'rî-hG')2— /'S et pour identifier ce polynôme en r- avec celui qui donne — j\—r-) (éq. 8) il suffit de poser
Le calcul n'offre aucune difficulté et Ton trouve
ou, en résolvant par rapport à pp, p'p, p"p,
Si, dans les relations qui existent entre pp, p' v et p"v, on remplace ces quantités parleurs valeurs tirées de (i4) on aura 5^2 et ^3. Nous supposerons les données choisies de façon que le discriminant soit positif; les valeurs de pi' et de p'i^ sont réelles puisque A est positif et l'on peut arbitrairement choisir le signe de p'ç. Nous
Il comple
386 OBAVITKI IX.
eiamtoeroDi senlemeiil le cts oA v ntisbît à ta condition
de lorteqDe l'on «
pp>«i, p'f<o, jfv>o.
Les éliment* eUiptiqnes étant ainsi fixét, oa a, c dei ^•litfa'(ta},(i3) el (lo),
(i5) r»— (Ar*+aB#*+C>»=— (pu — |H« r
Il en résulte
r«-(Ar*+aBr»-hC)« = -(j^y-
Mais le premier membre estégal ijt-^j d'après VéyiMÛoo Jilférentielte de la coarbe (éq. 8) : le second membre, d'après la f*lation(i3), est égal à —(■^j' ,6 ''*<■ ' *^ * *'*"'®
(i6) rf« = -i^.
* ' ap c
Cette égalité montre comment est liée à Tare s la variable u que nous allons garder comme variable indépendaote.
Nous avons déjà r^ en fonction de u au moyen des relations (i 3) et (i i); pour avoir B il suffit de remplacer r' par sa valeur en InnctioD de u dans le second membre de l'équation (9), c'est-à-dire dans
Ar*-HaBr'+C
On a d'abord, en tenant compte des relations {i3) et (i4),
Ar'-h-aBr>-=-C =(;>— Spc);
puis, en se servant de l'une des relations (1 1),
(:;) Ar'+2Br=+C = (p«-pO + [p("-*')-p''].
U est facile maintenant d'obtenir en fonction de u l'espression
dû?6 e -T- ; on trouve successivement au
p'v du (pw — p(^)[p(a-+-p)— pp]
du pu — pç p{u-^ v)—pç
OU, d'après la formule du n** 44
(19) ""^*5^ = Ï(w-+-p)~Ç(m— P)— 2ÎP-HÇ(m + 2P)- Çm — 2ÎP.
Nous avons ainsi r^ et 9 en fonction de u. Réunissons ici les deux équations correspondantes, en appelant E une constante :
I r2 = 4(pM — pp)[p(M-+-p)— pp], ,^^
(•ÎO) < ,.,A A^ 1- . r (^U(T(U—Ç) du= J-.
181. Nature des arguments. — L'expression (16) de du en fonction de ds montre que u est certainement imaginaire. D'autre part, pour que r^ soit réel, il faut que les deux facteurs dont le produit donne r^ soient ou tous deux réels ou tous deux imaginaires conjugués; voyons s'ils peuvent être réels. Si une valeur imaginaire de u rend pu réel, elle est, à des périodes près, de la forme ix ou w -|- ix^ x étant une valeur réelle ; mais les valeurs de cette forme ne rendent pas réel p(«^ + (^) ; elles sont donc à rejeter. Il reste à exprimer que pw etp(w + (^) sont imaginaires conjugués. Soit u = a-^ bi. D'après la formule d'addition donnée (n<* 45) pour la fonction pw, les deux valeurs p[a-{-bi) et p{a — bi) sont imaginaires conjuguées : il faut donc que l'on ait
M-i-P =±(a — bi)-i- 2/71(1) -i- 2 71(1)',
m el n désignant des nombres entiers, et en égalant les parties réelles dans les deux membres
a-hP=zta-H2/7ito,
On ne peut pas prendre le signe + puisque (^ n'est pas un multiple de 2(1); il faut donc que Ton ait
•2a -h P r= 2WtO,
M CHAPITIK IX.
ce qui donne
a = on a= t-ti,
Noos examinerons seulement le premier cas et^ou^i
t éuai une variable réelle; de sorte que l'on aara dtt = — idt,
et comme on a trouvé (éq. i6)
du = — ,- ) app
on a aussi
rf( = L- d$,
ap'p
p'v étant négatif, dt a le même signe qae ds.
I9â. Intervalle dana lequel U snfflt de &ire varier (. — La
première des formules (20) montre que r' ne change pas qoand
on change « en w-i-aw' ou bien / en / -i ?-■ D'autre part -j- est
une fonction rationnelle de ;■' ; il en est de même pour -r- Il en résutie que, pour une valeur donnée de dl, la valeur de d^ ne change pas quand on change / en / H r- el, par suite, que l'accroissement de 6 est le même quand on fait varier f de o à f « ou bien de — =- à—. — h'i- Si donc on aconslruilla brahchede courbe oblenue en faisant varier { de o à —r- el si on la fait tourner d'un angle égal à l'angle des rayons extrêmes, on aura la branche de la courbe décrite quand ( varie de — à — .-■
D'après cela, il suffit de faire varier / de o à — ;-; mais on peut restreindre cet intervalle En faisant u = \- it dans l'ex-
pression de r^ on trouve
(22) f^=j^p(^^+ii)p.j[p(^î,<)-p.],
et l'on vérifie aisément que r^ prend les mêmes valeurs pour
f I = -T- -I- A et pour 1^= — — h.
h If
D'autre part, pour un même accroissement dh les accroissements dt^ et dt2 sont de signes contraires; les accroissements correspondants d^\ et d^2 sont égaux et de signes contraires
puisque -j- ne dépend de t que par l'intermédiaire de r^. Donc les accroissements que prend 9, quand on fait varier ^ de -r- à -r -h A puis de -7- à — — /i, sont égaux et de signes contraires. La courbe est symétrique par rapport au rayon qui correspond à ^ = — , et il
suffit de faire varier i de o à -;-•
183. Variation de r^. — En tenant compte de la relation (i3) entre r' et .3, on a
dr^
du
ou bien
dr^
, , dz , , d (y p'u — p'p\
= ^?'^[?{u-^v)-'pu],
du
et, comme on a posé w = it^
Sa
Cherchons les valeurs de t qui annulent le second membre. Pour l'une de ces valeurs, on doit avoir, à des périodes près,
Le signe — est à rejeter, puisque p n'est pas un multiple des périodes, et par suite
lit =■ innu -r- irnà'y A. ET L. 19
290 CHAPITIB IX.
m et n désignant des nombres entiers. Comme 1^ est pnremenl imaginaire
les seules valeurs de i appartenant à Fintenralle f o, -7) V^ ^^^
nnlent -^ sont donc les valeurs extrêmes.
Pour reconnaître celle de ces valeurs qui corr^pond àim muimum, prenons la dérivée seconde
Pour / = o, le second membre se réduit à — Sp^çp'-; il eêl
puisque i^ et - étant compris entre o et «o, p'v et pi- sont tous les deux négatifs ; c'est donc ^ = o qui correspond an maximum. r^ décroit constamment quand avarie de o à -?-• Nous désignerons
par r\ et r\ les valeurs de r* qui correspondent à<=roetà^=-r- 184. Variation de l'angle polaire. — Dans la formule
as remplaçons ds par — ^p'v dt, elle devient
ij>v\ dt]
*-+-2Br*-f-C;
le trinôme Ar^+ aBr^-j- Cases racines réelles, puisque, d'après Tune des relations (i4)î AC — B^ est du signe dep^ et que pv est positif. Voyons d'abord combien ce trinôme a de racines comprises entre r\ et rj.
L'égalité (17), où l'on remplace u par j- «7, devient
En V faisant successivement t = o puis t = -.- on trouve
Ar5-h2BrJ-HG = 2^p^— ppV
Arf + 2Brî + G = 2p(--h(ijM — ppj.
La différence p p(^ est positive, puisque pu décroît, quand
Il croît de o à (o; la différence p( — h wj — p^ est négative,
puisque pi- -\- (oj est compris entre €2 et 63 et que p^ est plus grand que Ci. Donc ri et rj comprennent une seule racine du
trinôme.
Quand t varie de o à-r> r^ décroît constamment de rj à r^,
^ change uneseule fois de signe. Comme A est positif et jdV négatif, on voit que l'on a
en désignant par f^j ^H^) l^s valeurs de -j- qui correspondent
af=:oeta^=-r*
185. Angle des rayons allant à deux sommets consécutifs. — Il nous sera utile, pour étudier la forme de la courbe, de connaître l'angle des rayons correspondant aux valeurs extrêmes de Tinter-
valle fo, — j dans lequel nous faisons varier t] cet angle est la moitié de l'accroissement que prend 6 quand t varie de o à-^«
Nous allons faire le calcul en supposant que t varie de tok to-\ — .-•
Dans la formule (19) qui donne -r-» faisons 11^:= it
et du = — idi; nous obtenons, en tenant compte de ce que ^u est une fonction impaire
dt
29^ CBAPITIB IX.
Faisons malnteDant varier / de !§ à ^t H — r- et désignons p«r a^ raccroissement de 0, nous aurons
Le second membre se simpliBe beauconpi si Ton se sen d*une formule à laquelle nous serons conduiis en cherchant à éTaluer une intégrale de la forme
f ' 1i(a -t- it) dt.
a étant une quantité réelle telle que Ton ait
o< a <2Ctf.
1 a fonction sous le signe somme est la dérivée de
Tintégrale définie est
^Loga'(a-+-iO;
-rLog
i <^{a -4- iîq)
D'après la relation (22) du n" 21 on a
<3'(a -h fVo-t- 2 0)')
et, par suite,
n étant un nombre entier qui n'est pas déterminé par le calcul précédent. On en conclut
/ * 2 ri' ar'
Dans cette égalité changeons i en — i en remarquant que -:-
et -V sont réels, il vient
(26) / ^{a — it)dt = —^a-^^in-k-i)!: ^{ih
