CI

puis ajoutons membre à membre les égalités (aS) et (26), nous obtenons la formule qu'il s'agissait d'établir

(27) - I [Ç(a-4- t/)+ Ç(« -— iV)]û?/ = -^a-f-(2/n-i)7r.

Mais il reste à déterminer le nombre entier n. Cette détermination est facile quand a:=(o. En effet la fonction sous le signe somme est égale à

iX,a\

pour a =:(!), elle se réduit à 2^(0, c'est-à-dire à 2 7^; l'égalité précédente devient

-T(r^a)' — ajTf)') = (2n -4- 1)1:,

et l'on en conclut /i = o. Mais quand a varie d'une manière continue entre o et 20), le second membre de l'égalité (27) varie d'une manière continue, n ne peut changer. Donc /i = o pour toute valeur de a comprise entre o et 2(o, et par suite l'on a

I r <■ iy\

(28) { - / lX,{a-^it)-^X,(^a — it)\dt = -j-a-\-i:,

En appliquant la formule précédente à chacune des deux intégrales qui figurent dans l'expression de <}^, nous trouverons enfin

Cette égalité va nous permettre dé trouver le signe de ^.

Remarquons que, pour ç? = w, ^ est nul à cause de la relation

ds o i u. On I

cette àérivée décroft constsmment qnsnd v croit de o à u; poui = u elle est égale à

j («»"-*- V)- Or nous avons troové (n* 99)

et l'on voit que Ton a

-|(«,«'+tl')>o.

Donc 3^ est positive pour c = u et comme c'est oae fonction décroissante dans l'intervalle (o,w), elle est constammentpositne dans cet inlervalle. Il en résulte que ^ croit quand p erott de o

à ct>, et comme ii s'annule pour f ^ c», on a

Si nous comparons maintenant le signe de ^ et celui de (-77)' nous voyons que, quand ( croit de o à —:-, l'angle ô commence par croître mais que sa variation totale est négative. Nous avons trouvé d'autre part que ^s'annule en changeant de signe pour une valeuret une seule deTintervalle (o, -^): soit ('cette valeur; la discussion peut se résumer ainsi :

t croissant de o à ^, Q va constamment en croissant; pour t^^ le rayon vecteur est tangent à la courbe ; ( croissant de ï' à -^ > l'angle 8 décroît plus qu'il ne s'était accru quant t variait de o à t'.

. Signe du rayon de courbure. — On a trouvé en commen-

çant (éq. 4) l'égalité

i =4Ar2+4B,

le second membre est égala deux fois la dérivée prise par rapport à r- du triDome Ar*-j- aBr^-f-C, et d'autre part il résulte des calculs faits pour l'inversion [formules (i3),(i7) el(i i)] que l'on a en même temps

et

Dérivons par rapport à r^ les deux membres de la dernière égalité

dr^ ^p V

On en déduit, en remplaçant z par sa valeur (lo) en fonction

de u^

p ip'v pu — pv '

Voyons comment varie le signe de - quand t varie de o à 20)'.

r'^ va sans cesse en décroissant, Ar^ 4- B ne peut s'annuler qu'une fois; il nous suffira donc d'avoir les. signes des valeurs de - pour

w' 1 , . , II

/ = o et pour t= T-: nous desigrnerons ces valeurs par —et — :

^ * ^ ^ Po Pi

pour ^ = o

2 po P ip V

pour t -^ -7-

2 pi / ^ ,\ 2p>

Les valeurs de — et de — peuvent se simplifier si l'on se sert de la relation

P"ui P'Ui-j-p'i^Uj) p'Ui pUi — p{2Ui)

3g6 CBAFITKI IS.

que l'on déduit de la formate d'additioo

f'u—p'ui p'm-p'(B-H«t) pu— pu, pu-j»(u-*-uO '

en y fiuMDt tendre u vers Ui.Al'aide de cette relation, on obtient

(" .pv(; +«■)'' ^> "''■

c ëlant compris entre o et u, p'v etpf- sont négatifs, // - pontîf; donc on a déjà

D'antre part, p' ( ^ + *»') étant positif, — est de signe eontiaire k

Cetteqaantilé peut s'obtenir en substituant p(-+ft>'l dans le polynôme du second degré en pu

et l'on trouve aisément que l'on aura

"ii-'h-

si ç satisfait à l'inégalité

Mais on peut poser

a étant une quantité réelle comprise entrée et — (yoiV p. io3, n" i); l'inégalilé (3o) peut alors s'écrire

et comme p{u -f- w') croît constamment quand u croît de o à (o, elle peut être remplacée par la condition

Il faut donc, quand on étudie le signe de la courbure, distinguer les deux cas suivants, en remarquant que (« + (o^) désigne l'abscisse du point le plus haut de l'ovale dans la cubique x = pu,

Po

pi

pi

pi

Il se produit une inflexion de la figure d'équilibre quand v passe en décroissant parla valeur ia et il est facile de voir que l'in-

flexion se produit au point donné par à ^ = — • En effet, la valeur correspondante de u est

et la valeur correspondante de la fonction p, savoir

est, d'après la définition même de a, racine de p"(u), de sorte que — est égal à zéro, dans le cas particulier {> = 2a,

187. Forme de la courbe. — Nous avons supposé que (^ satisfait à la condition o<;(^<!w et, dans l'étude de la courbure, nous avons été conduits à distinguer deux cas suivant que l'on a

p<2a ou ('>2a.

Dans les deux cas, t croissant de o à -r> l'arc s va constamment

agS GBiriTBS ix

en croisunt, le rajon veclear va conataiiuncnt en Hécroissiint et

les njOB» extrêmes correapondeDt le pnaâerk un maximum el le

second à on nÙDimam ; l'angle Q commence

valeur t', pour laquelle le Vayon vecteur est langent ii la courbe;

paù décroît jnsqa'à une valeur initiale.

Poar ce qai regarde la conrilure, si f> ari la courbure gcontUunment positive, J'aogle a correspond aa sens dans lequel crott; c'est précisément te sens dans lequel l'arc de courbe est décrit quand t rârie de o i -i-; le rajron de courbure est compté à partir de la conri)e dans le sens a -I — •

Si t>-< aa il y a une inflexion et ai o diffère pen de aa le point d'inflexion est dans le voisinage du sommet qui ctutrespMid

On a alors les deux formes de la courbe, représentas par les fig. 34 et a5, dont la première correspond k t>>2aetla deuxième à v<.3a. On a représenté par un trait pins fort l'arc décrit quand t varie de o à -r > on a marqué par une grande flèche le sens de la pression normale, el l'on a tracé aux points aetb des flècltes dont le sens indique la direction de la réaction exercée par la verge. Ce sens est opposé à celui de la force extérieure qu'il faudrait appliquer pour maintenir l'équilibre (Halphek, p. aao).

Sens de la pression normale. — En mettant le problème en équation nous avons supposé la pression comptée dans le sens ot+ -; elle est donc du côté de la convexité dans le voisinage du

rajon maximum et, s'il y a inflexion, du côlé de la concavité dans le voisinage du rayon minimum.

[V. — Surfaces homofocales. Coordonnées elliptiques.

188. Surfaces homofocales à un ellipsoïde et passant par un point donné. — Étant donnés trois axes rectangulaires O^, Oy, Oz, on appelle surfaces homofocales à un ellipsoïde

/pî yi ^t

les surfaces représentées par Téquation

dans laquelle s désigne un paramètre variable.

Si l'on considère celles de ces surfaces qui passent par un point donné P(:ro,^o> ^o) on a, pour déterminer les valeurs correspondantes du paramètre 5, l'équation

^0 , yo , '^o

Les racines de cette équation se séparent aisément en substituant dans le premier membre des nombres voisins de a^^ b^^ c^ et des nombres très grands en valeur absolue. Les signes des résultats de la substitution et les places des racines sont indiqués par le Tableau suivant, dans lequel e désigne un nombre positif et très petit :

Ignés . . . .

acines. . .

Il y a donc trois surfaces homofocales à l'ellipsoïde et passant par le point P. La racine \ donne un ellipsoïde réel, la racine (x un hyperboloïde à une nappe, la racine v un hyperboloïde à deux nappes.

a* — Il b^ — fi c* — IL

et CD supprimant le facteur X — {a, on trouve la eondîtion qu'il

s'agissait de vérifier. Dodc les deux surfaces X et [jl se coupent orthogonalement au point P. On peut répéter le même raisonnement pour les surfaces X et v, ou [x et v.

La proposition est donc démontrée.

189. Coordonnées elliptiques. — On peut déterminer un point P de l'espace en se donnant les valeurs \ |jl, v des paramètres des trois surfaces qui sont homofocales à l'ellipsoïde donné et qui passent par ce point; X, [x, v se nomment les coordonnées elliptiques du point P. Nous avons déjà vu comment s'obtient l'équation qui donne \ [x, v quand x^ y, z sont donnés. Calculons maintenant x^ y, z en supposant X, [jl, v donnés.

Dans l'identité

^' , ^- , -s' (5 — X)(5 — fx)(5 — v)

chassons les dénominateurs et faisons tendre s successivement

3oo CHAPITIB IX.

Les trois surfaces homofocales à Tellipsoîde qui fiasseiit par ua poiot donné se coupent orthogonalement en ce point*

Soit P(^,^) s) le point donné, les normalea aux émoL sur* faces X et |A qui passent par ce point ont des cosinus directeurs 1 proportionnels à

^Tuy^ ptnî' 331'

a« — fit* 6*— (1 c« — (&

La condition pour que ces normales soient perpendiculaires est «« y* ^

Or, en retranchant membre à membre les deux ^[alités

ar« r« ««

ar« y* z*

APPLICATIONS DIVERSES. 3oi

vers a*, b^, c^ : nous trouverons

(a»-X)(e?»-HL)(a^-v) (a2^2)(a2 c2) '

190. Longueur d'un arc infiniment petit. — Prenons les dérivées logarithmiques des deux membres des formules ci-dessus

dx d\ du. d'i

X X — a* (x — a2 V — a^ dy dk d]y. â?v

y X — 6» ]x—b^ V — 6* dz d\ dix dy

et portons les valeurs de dx^ dy, dz ainsi obtenues dans la formule

ds^ — dx^ -î- dy^ -H <i^», nous obtiendrons l'expression de ds'^ en coordonnées elliptiques

^52= L*û?X2-hM2rffx2-f.N2rfv*,

L^, par exemple, étant définie par l'égalité

La valeur de 4L^ s'obtient en prenant les dérivées par rapport à 5 des deux membres de l'identité

a:2 ^2 . -^^ = (s-— X)(s — fx)(5 — V)

et en faisant ensuite 5 = X; on trouve ainsi

if*^ (>-~f^)(>--v)

On a donc la formule

'•*'* ~ (a«->)(62— XKC— X)

(ti.-X)([x-v) (v X)rv-(x)

(a2-|Ji)(.6!-[A)(c*-[ji) 1^ (a2-v)(62-v)(cî— v/" ■

GHlPtTKK I

191. XiM WOfdoBaiM X, |i,v remplacées par des arguments elliptlqoM. Z>M ooordoanéM osrtMeiuies s'expriment par des fonddons imUormM A» OM ngamtnt*. ~- Les viiicurs de J, )-, :; en foactioD deX, )ji, y contiennent des quiniliti-s irralionnelles par rapport iX, |i, v; ce lontleaTtlennqiie prennent les radicaux

quand on j remptsce i par >, |i on v. Hais nou savons qoe, à l*on considire ane fonction pu et les quantités «i, Cj, «■ correspondantes, chacun des radicaux

}/pu — ei, l'y» — e», j'pM — «,

peut £tre remplacé par une fonction uniforme. Nous conduits à faire le changement de variable

ce qui donne

o»-.= A<pt,-l«.),

&»-» = A(pu-«,),

e»-. = A(pu-e,),

en posant

«•-1-B=— Ae,,

é«+B=— Ae,,

tf«-l-B = -Ae,:

en ajoutant membre à membre ces dernières égalités on trouve l'égalité suivante qui détermine B

aï+iî-i-c'+3B = o;

B étant connu, e,, e-i, e^ sont déterminés, à un facteur près de proportionnalité et les valeurs des invariants g^ et g^ en résultent. A reste indéterminé; nous supposerons A positif et nous le remplacerons par p' pour que l'ccriture soit simplifiée quand nous . extrairons les racines.

En définitive, les invariants de la fonction pu résultant des égalités

si l'on pose

APPLICATIONS DIVERSES. 3o3

on a

a*— 5 = p2(pu — Cl),

62—5 = p2(pu — Cj),

c*— 5 —- p*(pu — es).

Remarquons de suite que e^, ^2, ez étant réels nous sommes dans le cas du discriminant positif.

Soient w, ç^, ^v des arguments tels que pu^ pç, piv soient les valeurs de pu quand s égale X, [x, v; comme les signes de

P^ — ei, pj — ^2, pu — ^3

se déduisent immédiatement des signes de.

on trouve aisément que les nombres

pu, eu pv, «2, pw, es

sont rangés par ordre de grandeur décroissante. D'après cela u et (V — iù' sont réels, v — (o est purement imaginaire.

Ce sont ces arguments w, v, w que nous voulons considérer à la place de X, [x, v.

Transformons les formules qui donnent x^, y^^ z^ en introduisant ces arguments elliptiques : elles deviennent

,^2= ipu — ei)(p\^ — ex){pw — ex)

(ei— e2)(ei — es) 2 ^2 3= (P^ — g2)(pt^ — g2)(pt^ — gg)

(«2— gl)(«2— «s) 2^2= (P^ — g3)(P<^ — g3)(P«^ — ga) .

(«3 — gi)(g3— ^2;

On peut maintenant extraire les racines en se servant des formules du n** 48 : on trouve

pa: = A2-i i î— , A = e ^ Co),

— -Yi''a)''

'^'^ <ÏU^i^(^W CD* =0)4-0)', Y)''=73-f-T/,

02 = 0^-— — - — - — ? C = e 2 /j'ty ^

3o4 OHAPITII IZ,

Quand on change le signe de l'on des ar^ments u, i\ trois coordonnées x, y, s changent de sigoe, le point P e^t rem- I placé par son sjrmétriqne par rapport i l'origme.

Les formules (voir a' 48) . ,^