C.lc„,o,.d-aLord(|)V(^)V(g
En différentiant par rapport à ^ la relation (3) qui définit X en fonction de ^, y, z^ on trouve
dX
(a-^-X)2 "^ (62-X)2 "^ C^^ITX^J dï "^ ^^^IT "" ^'
.^ ■ -'^^^^^^"^^.Tf^?'-^--Wt
3o6 CHAPITll II.
oa bien
et de même
On Cire de là
Pour avoir t-; dlfférentions par rapport à â? la relation (4) qui définit J-; nous trouverons
ou, en remplaçant j- par sa valeur, et de même
Si nous ajoutons membre à membre ces trois identités, les termes du milieu disparaissent et il vient
et comme nous avons déjà trouvé
*'«[(i)'-(i)'*(êy]— •
on a en définitive
dx^ dy^ dz^ f'jl)
APPLICATIONS DIVERSES. So'J
le second membre est une fonction de X; les surfaces
X = const.
sont des surfaces isothermes.
On peut alors déterminer une fonction de X
de telle façon que Aw = o. Pour avoir cette fonction m, que Lamé appelle le paramètre thermométrique, nous avons à intégrer l'équation
du 2 /( X )
di
En intégrant une première fois et en passant des logarithmes aux nombres, on trouve
(8) du ^ i p
en désignant le facteur constant du second membre par - pour
simplifier l'écriture dans ce qui suit. Remplaçons /(X) par le produit de facteurs linéaires correspondants et intégrons entre — oo et X, nous avons
__p r^ dl ^
À est donc une fonction elliptique de u. Faisons comme au n° 191 le changement de variable et de notations
a2— X= pî(pu — ei), 62— X = pî(pu — 62),
C*— X = p2(pu — 63),
la relation devient
Jp 2v/(p — ei)(p — e2)(p — ^3) J^
On voit qu'elle est satisfaite en posant
3o8 CBAPITIB IZ.
X est donc donne en fonction de u par l'égalité
A = 1 f^pu.
On fera correspondre de la même manière un det argumente p et (P aux coordonnées p. et v.
Les surfaces représentées par les équations
dans lesquelles Uo^ ('of ^o désignent des constantes, se loupent orthogonalement, puisque supposer, par exemple, que u a une va* leur déterminée revient à fixer une valeur de X. On doit donc avoir
du dç du dç du dp ^ dx dx dy dy di d* ~"
et deux relations analogues.
Expression du ds* en fonction des arguments u, p, w* — Dans la formule trouvée au n® 190
introduisons les éléments elliptiques : elle devient
-^ {p^ — pu)(pv — pw) dv^-h(pw — pu)(pw —pv) dw*.
193. Équation de la chaleur quand les variables sont les arguments M, p, w. — Lorsque dans l'équation
