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on fait le changement de variables

APPLICATIONS DIVERSES. \ SoQ

si les fonctions cp, ^j;, y^ sont telles que les surfaces obtenues en donnant k Uj i^, w des valeurs constantes sont orthogonales et si

l'on a

Téquation transformée est

I d^T i d^T I a«T L* du* "^ M» Iv^ ■*■ N* 5ii^ ~ °'

L, M, N étant définis par cette condition que la formule définissant ds^ est

ds* = L* du^ -h M2 dv^ -h N» dw^.

Admettons, pour un instant, ce résultat et appliquons-le au cas où les nouvelles coordonnées sont les arguments elliptiques w, ç^ iv. Nous trouverons pour l'équation transformée

{pu—pu){pu — pvp) du^

ipv'-'pu)(pv — pw) dç^ {pw'-pu)(pw'-pv) dw^ OU bien

Vérifions le résultat que nous venons d'admettre : on a

puis

dT dT du dT dv dT dw

ôx ^ du dx ' dv dx dw dx

d^T dx*

d*T /duy d*T du dv dT d*u "" du* \dx / " ' dudv dx dx ' " du dx* '

d^T dy*

d*T /duy d*T du dv dT d*u "~ du* \dy ) '" dudv dy dy "' du dy*

dz*

d*T/duy d*T dudv , dT d^u ~~ du* \dz ) ' " dudv dz dz " ' du dz*

En ajoutant membre à membre ces trois égalités, en se rappelant que les surfaces

M = consl., ç'srsconsl., (v = const.

3io aairtTiB iz.

•ont orUiogonile* et que I'od a

Il reste à vérifier que

et lei deux expreuioDi «Dilogaei se déduisent, cM^ne on l'a anooncé, des coefficients du </f* exprimés en fonetioD de «, v, w. Or

m<%)Ht)'-m'[m'<%)'<m-

on eo remplaçant les deux facteurs da second memltre par les expressions (S) et (8) trouvées an n<* 192

/du\* /âu\* /duY

■ *'(X) (X — a»)(X — 6*)(X — c») Mais, comme

(f-X)(«-tt)(l

*'(X)(X-a»)(X-6'KX-c') = (X-n)(X-v).

Donc

/àuY /duY /àu\*

[ai) ^[^) ^[îi) =P'(^

-pv)(pu — pw)'

le facteur p' se retrouve dans les coef6cîenti de -t-t- et t— r-- On a donc bien la forme annoncée.

Ainsi, quand on prend pour nouvelles coordonnées d'un point les ai^umeuts elliptiques u, v, (v, l'équation