partie principale relative à l'un de ces pôles est ftt
le résidu correspondant est nul. Cette fonction pu est donc
analoffuc à la fonction . . donnée par
(f^ lop^sinii
$in* u c/i«*
14* .^d {U — niT.)'
\jà foncùon p{u — <?), où a est constant, a pour pôles dooMes les points a el d + '^''(^ + 2/}(o'; la partie principale relative i
uu do cos pôles est -; il y a un de ces pAks
el un seul dans ehaque parallélogramme élémentaire.
P^n\\iiciié Je pu. — La fonction pu admet les deux pé-> riodes ^ w et j w\
En eflel* sî Ton forme la différence p \ u + aco) — puj
vvà u deraièn^ s<>mnie est étendue à toutes les Taleurs deaicti sjuts ewvpdcsî. Ceite demièn? somme est évidemment <« c»asivi;rrfcttl le< termes qui correspondent à une
de /î, on voit qu'ils se détruisent deux à deux. On a donc (i6) p(w -+- 20)) = pw;
de même, on trouverait
(16') p{u-\-2ti)') =: pu.
Effet de V addition des périodes à V argument de'C^u, — Intégrons ces deux dernières relations en nous rappelant que l'intégrale Aq pu est — -— ou — X^u^ nous aurons
i ^(^-4-20)) = îl*-h2T),
( Ç(a + 2a)') = ÎM-+-2T/,
où 7) et 7)' désignent deux constantes introduites par l'intégration. En faisant dans ces relations u= — o), puis u^= — o)', on a
Ç(a>) = Ç(-a>) + 2Ti, Ç(a)') = Ç(-a)')-^2V,
d'où il résulte, puisque 2^ est impaire,
(i8) iQ = C(a)), V=î(*o');
ces constantes yj et y)' sont ainsi exprimées par des séries convergentes.
Notation de Jacobi et de M. Hermite. — Dans la notation de M. Weierstrass c'est cette fonction -— ou 2^ qui joue le même rôle
que - dans la théorie des fractions rationnelles. Dans la notation
de Jacobi, légèrement modifiée par M. Hermite (Crelle, t. 84), ce rôle est joué par la fonction impaire
(19) Z(a) = Çw— ^M,
qui ne diffère de ^ que par un terme linéaire en u choisi de telle façon que Z(w) admette la période 20). On a, en effet,
Z(a-h2a)) — Z(M) = Ç(wH-2a>) — Ça — 2Y) =0,
Z(a -4-20)) = Z(a); puis
Z(wH-2a>') — Z(a) = Ç(a-j-2a)') — Ça— '
Z(a -H 20)') = Z(a) (r^w'— a>Tf)').
Dans la nolation de M. Weierstrass les deux périodes jouent donc un rôle symétrique, tandis que dans celle de Jacobi une des périodes joue un rôle spécial.
Nous verrons plus loin que la constante viw' — wy)' n'est pas
nulle ; elle a pour valeur zb — où il faut prendre le même signe
que le signe du coefficient de i dans le rapport — • Pour le moment nous poserons
Alors Z(m) vérifie les deux relations
La fonction Z(«^), ne difl'érant de X^u que par un terme linéaire en a, a les mêmes points singuliers et les mêmes parties principales.
Ainsi, cette fonction Z(w) a pour pôles simples de résidus + i tous les points a = o, w = 2/nw -|- 2aio)'; il y a un de ces pôles dans chaque parallélogramme; ils sont tous homologues de l'origine u = o dans le réseau des parallélogrammes.
La fonction Z(^^ — a) a pour pôles simples de résidu -|- i les points u = a et u ^= a -{- 2 miù -\- 2 ntù' , homologues du point a dans le réseau des parallélogrammes. Par exemple, dans le voisinage de M = a, on a : Z{u — a) égale fonction régulière.
Effet de V addition des périodes à V argument de du et de H (m). — Si Ton intègre de nouveau les formules (17) où
y Cm:
l,u= ——9 on a
log a'(M-f- 2 0)) = logo' M -4- 27) M -f-logC,
log a'(a -H 20)') = logo'w -h ir^'u ■+- loge',
loge et loge' désignant des constantes d'intégration. En passant des logarithmes aux nombres, il vient
tf ( M -h 2 0) ) = ce*^" a* M, a'(MH-2o)') = c'e*<"a'w.
GÉNÉRALITÉS SUR LES PONCTIONS ELLIPTIQUES. TJ
Dans la première de ces formules faisons u^=- — w et rappelonsnous que, (iu étant impaire, on a(^( — w)= — (^w. Nous trouverons
La seconde relation donne de même
La fonction d vérifie donc les deux relations
l <3'(MH-2a)) =— ^»TQ(«-»-««>J(3'a, (il) {
( 3'( M -+- 3t 0)') = — eîVt'*-»-»^') c a.
On conclut de là, par l'application répétée de ces formules, la valeur de (^(a + a/nw -h 2/iw') en fonction àe du^ m et /i désignant des entiers positifs, négatifs ou nuls. Cherchons d'abord l'expression de (^(m-h aw 4- 2w'). Changeant, dans la seconde des formules ci-dessus, u en u-\-iiù et tenant compte de la première, on a
^(m -h 2 0) -f- 2 0)') = e2(ri-«-ti')(tt-h(i)-i-a)')-i-ï(Yia)'-a)ti')3' j^.
Mais, comme T. w' — a)V=iiz — > on a
(23) a'(a -f- 20) -f- 20)') = — eï{r)+Yi')(M+w-i-wO<3'f^.
On vérifiera de même que, /n et n étant deux entiers quelconques positifs ou négatifs, on a
(24) <3'(w-+-2mo)-j-2/lO)')= ( — i)/«/n-/n+/ieï(/nti+/iti')(«-i-ma)-»-/ia)')<3't^.
Dans la notation de Jacobi on remplace la fonction (^, dont la dérivée logarithmique est !^m, par une fonction H(m) {kétade u)^ également impaire, ayant pour dérivée logarithmique Z(a) (zêta
de u)
H(w) (ju o)
On a donc, en intégrant,
logH(M) = logera— ^M^H-logp,
logp désignant une constante d'intégration, et, par suite,
(25) H(a) = pe «^ q'j^.
Pour déterminer p, divisons les deux membres de la relation (aS) par u et faisons tendre u vers zéro; — tend vers i,
vers la valeur H'(o) de la dérivée -r- pour « = o. On a ainsi p = H'(o), et la formule (26) devient :
La fonction H(a) admet les mêmes zéros que ^u. Elle vérifie les deux relations
/ H(M-+-2to) = — H(a), (26) j5.
OÙ 8 désigne comme plus haut la quantité 'r\iù' — wy)'. Ces relations se tirent, soit des relations que vérifie (^, soit, par l'intégration, de celles que vérifie Z.
En effet, intégrant les relations (21), on a, puisque Z(z^) = ■ >
logH(a-h2w) = log H( w) -j-logc,
logH(M H- 2 0)') = log H (a) a h- loge',
ta
où c et c' sont des constantes. On en déduit
H(m-h 20)) =cH(a),
Faisant dans la première m= — (o, on a, comme H est impaire, c = — i; de même, faisant dans la seconde m = — o)', on a
c'= — e ^ . On a bien ainsi les formules (26).
22. Remarque. — On a dès à présent des exemples de fonctions elliptiques. Ainsi la fonction pu^ qui n'a que des pôles à distance finie et qui admet les deux périodes 20) et 20)', est une fonction elliptique; il en est de même de ses dérivées p' u^ p''^^, • • • •
Les fonctions (3*, H, JJ, Z ne sont pas elliptiques, car elles n'admettent pas les deux périodes 20) et 20)'.
Nous allons montrer comment, avec les seuls éléments analy-
tiques nouveaux que nous venons de définir et qui se déduisent tous de (iu^ on peut exprimer toutes les fonctions elliptiques.
23. Cas de dégénérescence. — Lorsqu'une des périodes 2(o ou ao>' devient infinie les fonctions a* et p se réduisent à des fonctions connues. Supposons, par exemple w', infini et prenons la fonction p. Dans la série qui définit pw, iv est infini dans tous les termes où figure w', c'est-à-dire où n est différent de zéro. Tous ces termes sont donc nuls et p{u) se réduit à la fonction
la somme S' étant étendue aux valeurs positives et négatives de l'entier /n, zéro exclu. Comme la série ^ — - est convergente et
a pour somme —> on a
