AT

dx^ dy* da» ~

APPLICATIONS DIVERSES. 3ll

devient

194. Solutions dépendant d'une équation de Lamé. — Essayons de satisfaire à l'équation précédente en posant

F désignant une fonction pour le moment inconnue ; il vient

(pu^p.)^^^F(u)Fiç)=o,

Or si nous supposons que F(u) est une intégrale de l'équation différentielle

— =(Ap^ + B)z, où A et B sont des constantes, nous avons

^|^=(Ap«-t-B)F(«),

d^Flv)

-^=(Xp, +B)\F{vl

^-^A^=(Xp^^B)Fii^),

et l'équation (9) se réduit à l'identité

o=F(u)F{v)F(w)[(pv — pw)(Xpu-hB)

'^{pw — pu){Xpv-^B)-h(pu-'pv)(Apw-hB)]; ^ par suite

AT = o.

Ainsi on peut construire une fonction T vérifiant l'équation AT = o, chaque fois que Ton connaît une intégrale de l'équation

— =(Apu + B)z,

où A et B sont deux constantes arbitraires. Lamé a démontré qu'en donnant à A une valeur de la forme n{n -{- i), n entier, on peut

EXIkOIOXI >PI tw Ch

intégrer l'équation an mojen des fonction détermiiutioiiB coDveiMbles de B. £1 nbiie

I cUiplîques pour des

II ainsi, pour c)ia<]ue

.valeur de l'entier n, des solatîoiu purticiil!èr<>s de TOqual AT = o, i l'aide desquelles il forme h solution gt'Dtïralc de cette équation poar le problème qne non» v<-iion<i de traiter.

L'équation obtenue en faisant A =: m n ■+■ i)s'uppelle équation de Lamé. Nous reviendrons sar cette équation dans le Chapitre XI.

EXERaCE.

QaadiUatèrs artlenU. — Soit nn quadrilatère plan articulé deut let cAtét ont poar loogoeors a, b, e, d; appcloni s, p, j les aa|^ des e6té> 0, i, c, parcourus dam nn même Mua de circnlation, avec le cAté d. Bn projetant le contonr du quadrilatère sur le cAté d et aar une perpendîmlaire i.ce cAté, on a deux relations que l'on pent écrire

T^i■by-^-eJ^-^-d = o,

x = eoJ,

les coordoi

s = eV.

En regardant 3:,^, s ce première des équatioos (i) représente un plan et la deuxième une surface du troisième ordre; leur ensemble rep ré seule donc une cubique plane. Les coordonnées d'un point de cette cubique pourront s'exprimer par des fonclions elliptiques d'un paramèirc u;

En faisant varier u, on pourra ciudier la déformation du quadrilatère.

Si le plan ei la surface (1) sont tangents, la cubique devieni unicursale et les (onctions/, f, il peuvent éire remplacées par des fonctions rationnelles. (Dabboux. Bulletin des Sciences mathématiques.)