Élément simple. — Reprenons la fonction
9 constantes X et a étant déterminées par lei X = ^Logti,
"=^ ^(oLog[x'— io'Log|x).
FONCTIONS A MULTIPLICATEURS CONSTANTS. 333
Ecartons le cas des multiplicateurs spéciaux étudié dans le dernier numéro. Alors a n'est pas homologue de zéro et la fonction f{u) devient eOfectivement infinie au point e^ = o et aux points homologues. Déterminons la constante A de telle façon que le résidu de /"(w) relatif au pôle u = o soit égal à i. Pour cela, il suffit d'écrire que le produit u/{u) est égal à i pour u = o. On a ainsi
AH(a) H'(o)
et la fonction /(u) devient
Cette fonction /(u) constitue l'élément simple introduit par M. Hermite pour obtenir la deuxième expression générale des fonctions aux multiplicateurs jx et jx'. Elle vérifie les deux relations
elle admet comme pôle simple le point w = o et les points homologues. Au point u = o son résidu est i ; au point «=2m(o4-2n(o', m et 71 étant des entiers quelconques, son résidu est (x'^jx'", comme il résulte de l'équation
/(m -4- 2 WO) -h 2/10)')= fX'»JJL'«/(w),
conséquence immédiate des relations (i3). Si dans ces relations on change e^ en e^ — v, ç désignant une quantité quelconque indépendante de u, ou a aussi
La fonction
regardée comme fonction de u, a donc les mêmes multiplicateurs (x et (x' que/(w) : elle admet comme pôles simples le point m == t^ et les points homologues, le point w = (^ avec le résidu 4- i .
334 OHAPITIK XI.
n est inlëressant de voir quelles sont les propriélés de cette même foiictioii/(ii — v) considérée comme foncttoii de p. Si dans les relations (i4) on change a. en u — a«d on obtiwi denx nouvelles relations qne nous écrirona comme il suit *
Ces relations montrent que /(a — v) considéré comme fonction
de p est une fonction aux multiplicateurs inverses - et -7* Cette
fonction de v admet comme pôles simples le point p =5 u et les points homologues, le point v=:u avec le résidu — i • On vérifie, en effet, immédiatement, que le produit (p — ^)/{^ — ^) tend vers — I quand v tend vers u*
206. Formule de décooiiyositioii. Caa des p^Oea alaq^lea. — Soit une fonction F{u) aux maitiplicateurs non spéciaux (& et {&'• Supposons d'abord qne cette fonction n'ait que des pôles simples homologaes respectivement de certains points
et soient
les résidus de F(w) aux points a, 6, ...,/.
Considérons la difTérence
W(u)=F(u)-Xf(u-a)—Bf(U'-b) — ...- L/(w — /).
Nous allons montrer que cette difTérence est identiquement nulle. En effet, W(w) est une fonction^ aux multiplicateurs (Jiet [x', car elle est une somme de fonctions F(u)^ — ^/(^ — ^)> • •• admettant séparément ces multiplicateurs. En outre, cette fonction W(u) est Jinie pour toutes les valeurs de u, car, dans le voisinage de u = a, par exemple, on a, par hypothèse,
F(w)= h fonction résrulière;
FONCTIONS A MULTIPLICATEURS CONSTANTS. 335
de plus, d'après les propriétés de la fonction y(w — (^), on a, dans le voisinage de u = a,
f{u)= h fonction régulière ;
enfin les autres termes /(u — b). . ./(w — /) sont des fonctions régulières au point u = a. Dans la combinaison qui donne ^(u)
les termes en disparaissent et ^(u) est finie pour u = a. Il
en est de même des autres points u = b, . . . , ^^ = / et des points homologues.
Ainsi ^(u) est une fonction aux multiplicateurs non spéciaux [JL et [a', n^ admettant plus aucun pôle à distance finie. Mais une telle fonction ne peut pas exister (n® 203) : donc W(m) est identiquement nulle. On a alors la formule
(i6) F{u)=Xf{u — a)-hBf{u — b)-{-...-hLf(u^l).
C'est la formule de décomposition en éléments simples, mettant en évidence les pôles non homologues a, 6, . . ., / et les résidus correspondants. Chaque terme de cette formule est une fonction de u aux multiplicateurs [à et [jl' admettant dans un parallélogramme un seul pôle simple.
Inversement toute expression de la forme (i6) dans laquelle a, 6, ..., / sont des points non homologues deux à deux et A, B, ..., L des constantes quelconques, est une fonction aux multiplicateurs [À et (Ji', ayant comme pôles les points a, b, . . . , / et leurs homologues, les résidus relatifs aux points a^ b, . , ,, l étant A, B, • . . , L.
D'après cela, on peut choisir arbitrairement les résidus A, B, . . . , L : il n'existe entre eux aucune relation nécessaire. Il y a donc là une différence avec les fonctions elliptiques pour lesquelles Ja somme des résidus est nulle.
Exemple de décomposition. — Soit a et b étant deux constantes non homologues entre elles et non
336 CHAPITIK XI.
homologues de o. Cette fonctioii admet les molttjfdiiéaleiirs
comme il résalle des propriétés fondamentales de la fonction H; elle admet comme pôles les points a et 6 et les points liomologoes. Construisons l'élément simple correspondant
H'(o)H(ii-Jt) .
en choisissant X et a de façon que cette fonction admette les mêmes multiplicateurs {& et }tf. Il suffit de prendre
l'élément simple est donc
-, . H7o)H(M-ha-l-6) •'^'*^~" H(a-i-6)H(ii)
Les résidus de la fonction à décomposer F (a), relatifs aux deux pôles non homologues a et 6, sont
pour les oblenlr, il suffit de chercher les limites des deux produits (u — a)F(w) et (u — b)F{u) pour u=za ei u = b. La formule de décomposition est donc
F(a)=A/(M-a)^-B/(a — ^>), ou, en écrivant tous les termes explicitement
207. Cas des pôles multiples. — Le même raisonnement nous donnera la formule dans le cas des pôles multiples. Supposons que la fonction F(w) aux multiplicateurs non spéciaux jjl et |jl' ad-
FONCTIONS A MULTIPLICATEURS CONSTANTS. 337
metle comme pôles les points a, b, , , ,, l non homologues; et supposons que les parties principales relatives à ces pôles soient respectivement
/ X A. A| A, Aa i
• ^ u — a {u — ay. (u — ay {u — a)^
, . B B, B, Ba-i
?»(")= JTZb ^ (u^by ^ {u^by ■^•••■^ {u-b)^'
Si l'on désigne par/',/", ... les dérivées successives de/(w), la différence
»F(m)=F(w)— [a/Cm — a)— Ai/'(w — a)+— /"(m — «)
est encore identiquement nulle : en effet, dans le voisinage de u = a par exemple, on a
f{u — a) = -+- fonction régulière,
f'(u — a)=— r;; H- fonction régulière,
•^ ^ ' (u — ay °
fiu — a)=- -, '- — TT + fonction régulière.
Aa-i)(M — a) = (—!)»-* -V—- ^:r^ -4- fonction régulière.
Donc
A/(w-a)-Ai/'(w-«)-h 7-^ /'(" — «) + ...
^ lZ 2 «zl /"(a-D^j^ — a)= ©i(w)-i- fonction régulière.
3S8 caAriTEK xi.
0>miiie dans le voisinage de ii = a» on a aassi| par hjpodièse,
F(ii)ss ft(tt)-^ fonction régvttère;
on voit que V{u) est régulière au point a; il en est de mène des autres points 6, . • ^^ / et des points liomologues* Cette différence W( u) est donc une fonction aux multiplicateurs non spéciaux (t ei {&' n^ ayant plus aucun pôle à dUtcmce finie* Gomme une telle fonction ne peut pas exister (n® SOS), V{u) est idoitiquement nulle et l'on a la formule de décomposition
la somme étant étendue à tous les p61es non liom<d<^;ues.
Réciproquement, toute expression de cette forme, dans laquelle les coefficients A, A*i , . • . , Aa.i , • • • sont choisis arbitrairement, est une fonction aux multiplicateurs {& et {&'•
On voit l'analogie de cette formule avec celle que M. Hermite a donnée pour les fonctions elliptiques et que nous avons établie au n^ 26 par un raisonnement presque identique.
Exemple, — Prenons, par exemple, la fonction (17) de la page 335, en y faisant b = a,
Cette fonction admet les multiplicateurs
Un a
elle a comme unique pôle double le point u = a et les points homologues. Dans le voisinage du point w = a, on a, par la formule de Taylor,
H(a)=H(a)-h(w — a)H'(a)-f-..., H(a-a) = (u-a)H'(o)-hii^^=-^H"'(o) + ...,
FONCTIONS A MULTIPLICATEURS CONSTANTS. SBq
car H(w) étant impaire, H(o), H''(o) sont nulles. Donc
(a — a)ll'(o)
En élevant au carré, on a enfin
les termes non écrits formant une fonction régulière au point a. On a ainsi mis en évidence la partie principale de F(w) au pôle a. L'élément simple avec les multiplicateurs [jl et jà' est actuellement
La formule de décomposition est enfin
208. Méthode de M. Hermite. — Pour établir la formule de décomposition, nous avons suivi une marche analogue à celle que nous avons employée pour les fonctions elliptiques (n®* 24 et 26). M. Hermite établit cette formule par la méthode suivante, que nous indiquons à titre d'exercice :
Soit F(w) une fonction aux multiplicateurs non spéciaux a et jx'; désignons par v une variable auxiliaire et considérons la fonction de {>
Cette fonction est doublement périodique : car, si l'on augmente r de Tune des périodes, F((^) se reproduit multiplié par jx ou jx' et
f{u — s>) multiplié par - ou — ,; donc le produit <^(^) ne change
pas. La fonction 0(ç') est donc une fonction elliptique. En écrivant que la somme des résidus de ^(^) relatifs aux pôles situés dans un parallélogramme ou, ce qui revient au même, relatifs aux pôles non homologues, est nulle (n° 25), on obtiendra la formule cherchée.
•''{•«■■ '^ J iT. - --'■^-
340 CHAPITEK XI.
Les infinis de ^(p) sont les infinis des deux Ciet^irs F(i') ei/{u — 1^) : les infinis de F(i^) sont homolofuM des points
ceax àe f{u — 9) sont homolofues dn point u. Supposons, pour simplifier, les pâles de F(p) simples et soient A, B, • • . , L les ré* sidos de F correspondant aux pâles a, b, • • • , I. Les résidos ée 9{p)f relatifs i ces pdles, sont
' Le résida de9{v) relatif an pâle <;=: ii est
-F(ii).
Écrivant que la somme de ces résidas est nolte, on a bien la formule cherchée.
Noas laissons aa lectear le soin d'appliquer la même' méthode au cas des pôles multiples.
209. MuMplioalrara spéeianx. — Dans ce qui précède, nous avons écarlé le cas où les multiplicateurs {& et uf vérifieraient, pour des déterminations convenables de Logu. et Log\i', la relation
o) Log [l' — Ci)' Log fx = o.
Supposons main tenant cette relation remplie : il existe alors une exponentielle de la forme
admettant ces deux multiplicateurs, car les deux équations
donnent pour X des valeurs compatibles. Cette fonction
élu
est une fonction n'ayant aucun pôle à distance finie. L'élément simple appelé y*(w) n'existe plus dans ce cas, car la constante a est homologue du point o. Donc les formules de décomposition générale ne s'appliquent pas à ce cas.
Mais, actuellement, toute fonction F(u) aux multiplicateurs
FOIfCTIONS A MULTIPLICATEURS CONSTANTS. 34l
spéciaux [jl et jx' peut s'écrire
4>(w) étant une fonction elliptique. Il suffira de décomposer cette fonction ^(u) en éléments simples par les formules des n®^ 24 et 26, et il en résultera une formule donnant F(£/). Par exemple, supposons que F (m) ait seulement des pôles simples homologues des points
les résidus relatifs aux points a, b, . . . , / étant
La fonction elliptique
admet les mêmes pôles avec les résidus
On a donc, d'après la formule (3i) du n° 24,
en outre, la somme des résidus de la' fonction elliptique O étant nulle, on a, entre les pôles et les résidus de F, la relation
(ig) Ae-^«-4- Be->^*H-.. .H- Le-^'=o.
Revenant à la fonction donnée F par la formule
F(M)=e>^«<ï>(w), on a enfin la formule
F(w)= Goe^"-f- Ae>»(«-a)Z(M — a)
BeXt»-^^Z(M — 6)-h...-hLe>^(»-'^Z(M — 0-
On pourrait donc prendre actuellement comme élément simple la fonction
et écrire
F(m)= 00 6^**+ A(p(M — a)-hBcp(a — ^>)-H...H-L<p(a — /).
34* CBAPITKI XI.
n est important de remarqaer qae, ri les multiplicateurs sont spéciaux, les résidus ne peuvent plus être choisis arbitraircmenl : ils sont liés aux pdles correspondants par onc relaliou, qui a la forme (19) <{iiand tons les pAlei sont simples. ^^^J^^^l
ID. — ËQtiATKRi DB Lini. fiosiTioira n> If. PMtui.
210. t^piatton à» Lamé- — Une applicatioo des pins importantes des fonctions donblement périodiquee de secondé espèce, on fonctions & mnltiplicateors constants, est l'intégration d'une cUsse d'éqnaUons différentielles linéaires et homogènes ayant pour coefâcients des fonctions elliptiques.
La première équation de ce genre a été conridérée par Lamé à propos de l'éqnilibre des températures dans nn dlipsoïde homogène. Cette éqoation, appelée équation de Lamé, a d'abord été prise par Lamé sons la forme
dx* '
k étant le module, n un entier et h une constante. Lamé s'est
borné à iutégrer cette équation pour des valeurs particulières de h choisies de telle façon que l'équation admette une solution qui soit un polj'nome entier en sn:r, ou un polynôme entier en sn:r multiplié par l'un des trois facteurs cnx, dnx ou cnxdna:. Par exemple, quand n ^ 1 , l'éqnation
admet la solution
pour h =— (1 4- k'), et la solution
pour A=— I.
M. Hermite, se plaçant dans le cas général où h est quelconque, a montré que l'équation de Lamé peut toujours être intégrée et que son intégrale générale est de la forme
FONCTIONS A MULTIPLICATEURS CONSTANTS. 343
F(^) étant une fonction à multiplicateurs constants, C et G deux constantes arbitraires,
21 1 . Forme de l'équation de Lamé dans les notations de M. Weierstrass. — Si dans l'équation
on fait le changement de variable
57 = Y -i- iK ,
a désignant la nouvelle variable et X une constante, et si l'on se reporte à la formule
sn( Y H- ^'K') = '
^^ I /tsn|
l'équation devient
•^ X* sn* y
Introduisons maintenant la fonction pu par la formule (n® 97)
nous obtenons l'équation
OÙ / est une constante. C'est là la forme de l'équation de Lamé dans la notation de M. Weierstrass, telle que nous l'avons rencontrée au n® 194.
212. Intégration de l'équation de Lamé pour /i = i. — Nous allons exposer la méthode de M. Hermite pour le cas de /i = i, qui, d'après les recherches de M. Hermite, se présente dans l'étude des mouvements à la Poinsot. Nous rattacherons ensuite le cas où n est un entier quelconque à un théorème de M. Picard.
m CaAPITlK XI. .
L'équation de Laméi pour a = i , peal s'éerire
« Essayons de la vérifier par la fonction i maldpUeateors eonMoits
a et X désignant des constantes. Nous aTons, en prenant 1^ dérivées logarithmiques des deux membres
yi du ^ et en dérivant de nouveau
Mais d'après la formule d*addition pour ^u (n® 14) la valfor de
Tx
— -^ peut s'écrire
yi du 2 pu — pa
puis, d'après la deuxième formule d'addition pour pw (n*^ 45), on a
On a donc enfin
-f^ = 2pu-^pa— -{^ Î-— )
yt du* '^ '^ ^\pu — pa)
1 pu — pa J
Pour que le second membre devienne égal à 2pu-i-l, on voit qu'il suffit de faire
pa = /, X = — Ça.
Ainsi l'équation (20) admet la solution
yx = — ^^ e-««»«
FONCTIONS A MULTIPLICATEURS CONSTANTS. 345
à condition que la constante a soit déterminée par l'équation
(ai) jia = /.
Comme l'équation différentielle ne change pas quand on change w en — u^ elle admet également la deuxième solution
qui s'obtient aussi en changeant le signe de a, ce qui est évident d'après l'équation (21) dont le premier membre est une fonction paire de a.
L'équation de Lamé pour n = i admet donc l'intégrale générale
^ = G, \ U -Aa^C^ ^ \ uX,a^
C| et C2 désignant deux constantes arbitraires.
213. Équations de M. Picard. — L'équation de Lamé rentre dans une classe d'équations différentielles linéaires et homogènes qui peuvent être intégrées à l'aide des fonctions à multiplicateurs constants, comme l'a montré M. Picard (Comptes rendus, 1880, 1" semestre.
Soit une équation linéaire d'ordre n de la forme
dont les coefficients /'<(^), /^{x)^ . . ., fn{x) sont des fonctions elliptiques aux mêmes périodes ato et 2(o'; supposons en outre que l'on sache que l'intégrale générale est uniforme en x et n'admette pas d'autres singularités que des pôles à distance finie.
Dans ces conditions, l'équation est intégrable à l'aide de fonctions à multiplicateurs constants.
Pour le démontrer, supposons l'équation du troisième ordre
Le raisonnement que nous allons employer s'appliquera à une équation d'un ordre quelconque.
346 GBIVITKI XI.
Le poÎDlde départ est dans ce bit quo quatre âoluiions (ine]eonqnesj'i,/'!, ^t,^4 de l'éqnatioD du iruisiàmc ordre (as) sont liées par une relation linéaire et homogiuc à cocfiicîcals conslauts de la forme
Soit alors
one intégrale de l'éqâation : par hjrpolli^sc, c'est une fooction oniforme de s. Comme l'ëqaation différentielle ne change pas 1 quand on change x ea x + su, elle ad'inet aussi les intégrales
ri = ?(» + »»i. y* = f <* -»- <•*).
Entre ces quatre foncUonï a lien, quel que soit «, : de la forme
En supposant C« différent de xéro et divisant par C*, on a
(»i) ^(*-+.6») = c,f(jp)-»-C|Ç(«-i-a«>)-i-c,<f(aï-i-4»),
<^ii ^tt Ct désignant des constantes déterminées. Considérons alors
la fonction
+(ar)=X.^(a-)+X,i
où X|, X], Xj sont des constantes arbitraires. Celte fonction est une intégrale de l'équation : nous allons montrer que l'on peut déterminer les rapports de ces constantes X de telle façon que
[i. étant une constante convenablement choisie. En effet cette dernière relation s'écrit, en vertu des précédentes (a4) ^t {^5)
)>,?(«-(-2>a)+X,ip(x-^-4<u)+^stc, ?(3:)+ciç(:r + 2iu)-i-c,ip(;r + 4ui)] = (i[X,ç(x)+X,ç(:r + 2Co)+X,o(ar-^4">)l;
d'où, en égalant les coefficients de <f{^), <f(x (27) ' — X,+ |iii— c,X) = o,
FONCTIONS A MULTIPLICATEURS CONSTANTS. 347
L'éliminatioD de "ki, X2, X3 entre ces équations donne, pour déterminer [X, l'équation du troisième degré
(28) |Jl3 C3|Jl2 C2|JL — Ci = O.
Après que l'on aura pris pour [jl une racine de cette équation, on tirera des équations (27) devenues compatibles les rapports de deux des quantités A^ )v2, X3 à la troisième, et l'on aura ainsi une intégrale '^{of^) telle que
^(x.-h 'l(ù)= ll^{x).
En partant maintenant de cette intégrale, comme nous sommes partis de ç(^), on montrera que l'on peut déterminer des coefficients constants V^, W^, Vg de telle façon que l'intégrale
F(x)= X;4/(a?)4- X; «Koth- 20)')-+- X'3 f^{x 4- 4w')
vérifie une relation de la forme
F(.r-4-2a>')= ii'F(x).
D'ailleurs cette fonction F(x) vérifie évidemment la relation
F(a7H-2w)= iiF{x),
puisqu'elle est une somme de trois fonctions tj/ qui la vérifient séparément.
On a donc démontré que l'équation possède au moins une intégrale F(^) admettant deux multiplicateurs constants. Supposons cette intégrale trouvée : alors, conformément à la théorie générale des équations linéaires, on fera le changement de fonction
z étant la nouvelle fonction inconnue. Cette fonction z vérifie une équation du second ordre
dont les coetficienis sont doublement périodiques, comme formés rationnellement avec les fonctions /i{^)y /2(^) qui sont dou-
346 ca*riT*i zi.
Le point de départ est dans ce fait que quatre solutions qndconqnes^t, ^t, y%,y» de l'équation du troisième ordre (23) Mut li^e* par une relation linéaire et homogène i coefficienu constanu de la fbrne 1
Ci n -*- Ci^tH- C,>,+ C» j-» - o.
Soit alors
noe intégrale de l'équation : par hypothèse, c'est une fonction uniforme de x. Comme l'équation différentielle ne change pu quand on change jc en « + au, elle admet aussi les intégrales
Entre ces quatre fonctions a lieu, quel que soit x, une relaUon de la forme
<t3) Cit(«)-+-G,if(*-»-ab.)-t-Cç(»-t-4w)+C*«p(«+6») = o.
En auppount G, différent de aéro et divisant par C4, on a
(al) ç{* + 6»)= r,^(*)-*- Cl f (» + »•»)+«» tC*-*-*"*)!
Cl , Cl, Cl désignant des constantes détenninées. Considérons alors la fonction
(li) J.ix)=X,?tJ-)+X,ç{x-t-a«)-t-l,ç(i + 4<*),
0(i X,, X,, X) sont des constantes arbitraires. Celte fonction est une intégrale de l'équation : nous allons montrer qae l'on peut déterminer les rapports de ces constantes X de telle façon que
(aS) i{,(j--t-3B.l=(i4.(x),
jji étant nneconsUnte convenablemonl choisie. En effet celle dernière relation s'écrit, en vertu des prtctdcnlcs (a^) et (aS)
ll i^VJ- -*-»»»»-(- 1, »(j: -f- 4 iul-^J,[r,ol-ri-i-r,oi»-^ »«•)-(- e,Y(*'-'"^*'Hl dVw. en t'gaUni les coefficients de çv')' ?t*
FONCTIONS A HDLTIPLIC ATE CHS COIfSTtKTS. 3.(7
L'élimÎDatioD de X,, X^, )>j entre ces équations donne, pour i\vtermiaer ja, l'équalion du Iroisième degré
(a8) 1^'— cil' — c,[i — c, = o.
Après que l'on aura pris pour [j. une racine de celle ^ijualion. on tirera des équations (27) devenues conipaiibles Ici rappuNi' Jideux des quantités X, , Xg, X, à la troisième, et l'on aura ainsi une intégrale '^(x) telle que
En partant maintenant de celte intégrale, comme nouii ïi^nimi-o partis de f{a:), on montrera que l'on peut déterminer do» vWtV cients constants ).', , ).^, À'^ de telle façon que l'inlégraio
vérifie une relation de la forme
D'ailleurs cette fonction F(x) vérifie évidemmeil b !V>î».-vr
F(j; + aw)=pF(,),
puisqu'elle est une somme de trois ioncliiwdM: k • ~ ■ parement.
On a donc démontré que t'éqaatîoa hmMi •';; < intégrale F(x) admettant deus "nltinlraiMi ijw.. . ^ sons cette intégrale trouvée : alors, eorihiHMm nérale des équations linéaires, tmknk^^gimi"-
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