L. Si C <tMt «ri ( f |»irîw «y>. — a

■fl- X ■ =: it s. J- ' ■• 3' ^ tau

il*-— «m =»i'

FONCTIONS A MULTIPLICATEURS CONSTANTS. 349

OÙ n est un entier que Ton peut toujours supposer positif, car l'équation ne change pas par le changement de n en ( — n — i). Il résulte des théorèmes sur les équations linéaires établis par M. Fuchs (^) que cette équation a, quel que soit /, une intégrale générale uniforme ne possédant d'autres singularités que des pôles à distance finie. On peut donc affirmer, d'après le théorème de M. Picard, que cette équation est intégrable à l'aide des fonctions à multiplicateurs constants. Voyons quels seront les pôles de ces fonctions et leur ordre de multiplicité.

Soit M = a un pôle, d'ordre a, d'une intégrale y^ on a, dans le voisinage de ce point,

y=z G(w — a)-a[i4- Ai(w — a)H- A2(w-— a)«H-...], C, A<, A2 désignant des constantes. On en conclut

I dy CL Ai-hiA2(u — a)-h

y du u — a i-i-Ai(w — a) -{-,.,

ou, en développant le second rapport suivant les puissances de u — a,

y du u — a ^

Différentions par rapport k u; il vient

I d^y / I dy\^ a

y du'^ \y du) ~~ {u — a)

et, en remplaçant - ~- par sa valeur,

i d^y __ a(aH-i) 2aAi y du'^ ~~ {u — a)* u — a

D'après l'équation de Lamé, ceci doit être égal à

n(n -h i)pu -h /.

Comme les seuls pôles de pu sont o et les points homologues, a doit être égal à o ou homologue de o. Comme la partie prin-

(') Journal de C relie, t. 66, p. 121.

35o CHA»ITftB SI. — rACTBOftS A KVLTIV&IOATBVmS QOHtTAHTS.

cipale de pu dans le voismage d'an de ses p61es est

on doit avoir

a(s -4- 1) s ii(js -♦• i)» a A| = o.

La première relation exige, poisqae a em sont positifs,

atan et la seconde

Aiso.

Ainsi une intégrale qaelconqae de l'écpialion de Lamé adme t, comme seals p6les, les points homologues de o : tons ces pAles sont d'ordre n. Nous savons d'antre part qne l'équation de Lamé admet au moins une intégrale y^ qui est une fonction à mnltij^cateurs constants. D'après la formule (8) du n* 202, qui donne une fonction à multiplicateurs constants comme le quoûent de deux produits de fonctions H mettant en évidence les pôles et les zéros, cette intégrale ^i est nécessairement de la forme

ou, avec les notations de M. Weierstrass,

r» •v^3'(x-+-ai)a'(a7-i- a,)...a'(a7H-an)

Il reste à déterminer les constantes

aj, aj, . . ., «/i, A,

de façon que celte fonction vérifie réqualion de Lamé; c'est ce que l'oD fera par un calcul analogue à celui que nous avons développé (n*" 212) pour le cas simple de n = i .

L'équation admettra une deuxième intégrale, y2 déduite de yt par le changement de ^ en — x. On retrouve ainsi les résultats de M. Hermite.

FONCTIONS A MULTIPUCATEURS EXPONENTIELS OU FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES DE TROISIÈME ESPÈCE.

21S. Définition. — M. Hermite a apipelé fonction doublement périodique de troisième espèce une fonction uniforme n'admettant d'autres singularités que des pôles à distance finie et vérifiant deux équations de la forme

( cp(iCH-2a)')=e«'-f+*'o(a7),

a, 6, a', b' désignant des constantes. Les facteurs e***^* et e«'-H-6'^ par lesquels la fonction est multipliée quand l'argument croît d'une période, sont les multiplicateurs de la fonction : ces multiplicateurs sont actuellement des exponentielles linéaires en œ. L'étude de ces fonctions a été faite par M. Hermite {Comptes rendus, 1861 et 1862; Journal de C relie, t. 100); par M. Biehler (Thèse de Doctorat, 1879) et par M. Appell (Annales de l'École Normale, 3® série, t. I, II, III et V). Des exemples simples de ce genre de fonctions sont fournis immédiatement par les fonctions a". H, 0, .... D'une manière générale, la fonction

^ ^ ^^ ^ H(x — ai)ll{x — a2). ..ll(x — Uq)

où le nombre p des fonctions H au numérateur est diff*érent du nombre q des mêmes fonctions au dénominateur, est une fonction doublement périodique de troisième espèce. Nous verrons plus loin que, réciproquement, toute fonction doublement périodique de troisième espèce peut être mise sous cette forme. Nous donnerons encore deux expressions principales de ces fonctions : l'une, par un quotient tel que (2) de deux produits de fonction H,

35a CHAFITftI XII.

metunt en évidence les zéros et les pôles; l'antrei par une somme d'élémenis simplîes, mellanl en évidence les pôles ei les parties principales correspondanles.

216. flbmdllUMitfoii des nlalloBS om TMMe vae ffnniittnm à aidp tipHealeiin eaponmitteli. — Soil une foiiction f{s) telle que

f (a? H- att>') =5 e«'*^' tp(a?)«

Posons, en désignant par X et |a des constantes,

/(a?)=«>«*+l»«ip(a?).

On peut toujours déterminer X et |a de façon que/{x} admette la période a(i>, c'est-à-dire ne change pas de valeur qnand x croit de aii>. En effet on a

et poor rendre cette exponentielle égale à i, il suffit de déter* miner X et |a par les deux équations du premier degré

(3) 4^t»> = — ^f 4 ^^* "^- 2 [Aw = — b,

La fonction /(x) vérifie alors deux relations de la forme

A el B désignant deux constantes dont la première a pour valeur

A = 4 Ao) -f- a = .

Comme la fonction /(j:) admet la période 2 0), les deux membres de la seconde relation (4) ne doivent pas changer quand a: croît de 2(1) : on a donc

gîAw^ ,^ aAw = — 2NTrf, N désignant un entier positif ou négatif. Les relations (4) s'é-

FONCTIONS A MULTIPLICATEURS EXPONENTIELS. 353

crivent alors

NiTT r

Si l'entier N était nul la fonction /'(^) serait une fonction aux multiplicateurs constants i et e", fonctions que nous venons d'étudier. Nous supposerons donc N différent de zéro. Dans cette hypothèse, on peut encore simplifier un peu les relations cidessus, en prenant comme nouvelle variable

Bo)

et posant

Cette fonction F(«) vérifie alors les deux relations

(5) j "SiTZu

C'est à cette forme simple que nous supposerons toujours que l'on ait ramené les deux relations vérifiées par une fonction doublement périodique de troisième espèce.