X TT* I 'V' T

Mais alors, en comparant à la formule

sm on a

tJ tt2

1210* 4^2 . ^ TZU

sm* —

En intégrant et changeant les signes, on a

(28) r(M,w=»)= -u-^ cet — )

sans ajouter de constante, car ^ est impaire.

Enfin, intégrons de nouveau et passons des logarithmes aux nombres; il vient »

C(a,o)'=oo)= ce2Va)« gin ,

où c est une constante d'intégration. Pour la déterminer, divisons par ^ et faisons tendre u vers zéro, en nous rappelant que — tend

3o CHAPITRE 11.

vers I . On a alors c — = i et enfin

(2q) a'(M,a)'= x>)= — e**««>' sin — •

On volt ainsi que l'analogie avec les fonctions trigonométriques devient Tidentité quand une des périodes est infinie.

Supposons que les périodes soient infinies toutes les deux. Alors dans la série p{u) tous les termes sont nuls, sauf le premier, et l'on a

P(")=Tnî

intégrant et changeant les signes, on a

(f II

puis

cru = u.

On voit, d'après cela, que la théorie que nous allons dévelo pper donnera, comme cas particuliers, les formules relatives aux fonctions trigonométriques ou aux fonctions rationnelles, suivant que l'on y supposera une période infinie ou les deux périodes infinies.

II. — Première expression des fonctions elliptiques. Décomposition

EN éléments simples. CONSÉQUENCES.

24. Cas des pôles simples. — Soit/(w) une fonction elliptique ayant les pôles a, 6, c, ..., / dans un parallélogramme élémentaire P, ces pôles étant d'abord supposés simples et les résidus correspondants étant A, B, . . . , L. Alors, dans le voisinage du point a, on a

f(u)=: h fonction régulière,

dans le voisinage de b

f(u)= j -f- fonction régulière,

Formons la fonction

^{u) = /(u)^XZ{u — a)—BZ{u — 0) — ...— LZ{u— /).

GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 3l

Cette fonction est régulière dans le parallélogramme des périodes P, car dans le voisinage de w = a, par exemple, on a

y(a)=: h fonction régulière,

Z(m — a)= h fonction régulière,

donc

f{u) — AZ(m — a)= fonction régulière,

et, de plus, toutes les autres expressions Z(w — b), . . . , Z(f/ — /) sont régulières au point a.

D'ailleurs, y(w) admettant les périodes 2 0) et 20)', on a, d'après les propriétés de Z(w) (éq. 21),

D'après ces équations, la fonction ^(w) est régulière dans tout le plan à distance finie," car elle est régulière dans le parallélogramme P, et, dans les autres parallélogrammes, elle prend des valeurs qui ne difierent que par une constante de celles qu'elle prend dans P.

Nous allons démontrer que ^{u) se réduit nécessairement à une constante. En effet, la dérivée ^'(w) est régulière dans tout le parallélogramme P, car la dérivée d'une fonction régulière est une fonction^ régulière ; de plus elle admet évidemment les deux périodes 2(0 et 2(1)', comme on le voit en différentiant les formules (3o).

Cette dérivée ^'(w) est donc constante, comme étant une fonction régulière avec deux périodes (n° 19)

*'(")= Ci; donc

4>(w)= CiW-t-Co,

C| et Co désignant deux constantes. Mais, comme ^(w + 2(o) doit être égal à ^(w), C| doit être nul et ^(w) se réduit à une constante Co. Ainsi la différence appelée ^(w) est constante. On a donc la formule

(3i) /(w)=Co-i-AZ(^ — a)-hBZ(-3 — 6)-H...-hLZ(-3 — /),

32 CHAPITRB II.

due à M. Hermite et appelée formule de décomposition en éléments simples. Cette formule est analogue à la formule de décomposition d^une fraction rationnelle en fractions simples.

25. La somme des résidus d'une fonction elliptique en tous les pôles situés dans un parallélogramme des périodes est nulle. — En effet, nous venons d'appeler A, B, ..., L les résidus relatifs aux pôles situés dans un parallélogramme' des périodes^ nous avons trouvé que ^{u) est une constante : alors on a évidemment 4>(w4-2(i)') — ^(w)=o. On a donc d'après la deuxième formule (3o), puisque 8 est différent de zéro,

Le théorème est donc démontré.

Ainsi, toute fonction elliptique n'ayant que des pôles simples peut se mettre sous la forme (3i), où les constantes A, B, . . ., L ont une somme nulle.

Inversement toute fonction définie par une expression de la forme (3 1), où les constantes A, B, ..., L ont une somme nulle, est une fonction elliptique : en effet, cette fonction n'a d'autres singularités à distance finie que des pôles simples et, d'après les propriétés de la fonction Z, on a

/(a-+-2to)— /(a) = o,

/(M-+-2to') — /{u) = (A-+-B-h...-i-L)=o.

26. Formule de décomposition en éléments simples dans le cas où certains pôles sont multiples. — Nous avons, pour plus de simplicité, supposé d'abord que la fonction elliptique considérée n'avait dans un parallélogramme élémentaire que des pôles simples. Le cas où la fonction posséderait des pôles multiples peut être regardé comme un cas limite du précédent : il suffit de supposer que plusieurs des pôles simples viennent à coïncider.

Mais nous traiterons ce cas directement, par la même méthode que le précédent. Nous obtiendrons ainsi l'expression la plus générale des fonctions elliptiques et cela encore avec le seul élément analytique Z(w) et ses dérivées.

Soient a, 6, . . ., / les pôles de la fonction f{u) dans un parallélogramme élémentaire et

A Al Aï Agj-i

?!(")= iiTr^+ (^-a)i ^ (w-a)« ■^•••■^ (a-a)a'

i^^ (u — ôy {u — b)P

les parties principales correspondantes. La différence

AZ(a -a)— A,Z'(w — a)-l- - 'Z^Ca — a)-f.. . .

+(__ ,)a-i :^^^z! Z(ûc-i)( M - a)l

— |bZ(w — 6)-BiZ'(w — 6)-h ^Z'iu-Ù)-^...

+ (- « )P-' ^■^^' Z(MH w — ô) I

est encore une constante; en effet, dans le voisinage de w = a par exemple, on a

Z(a — a)= -h fonction régulière,

Z'(u — a) = — 7 TT -f- fonction régulière,

Z'(m — a)= 7 ^ H- fonction régulière,

Z(a-i)(jf a) = (— i)«-i '•f'"^'' ,'^ -h fonction régulière.

Donc

AZ(w — a) — AiZ'(a — a)H ^Z'(i« — a)-4-. . .

Z(*-*^(w — a) = çpi( a) -f- fonction régulière.

Comme dans le voisinage de w = a, on a aussi, par hypothèse,

y(w)= çpi(w; -H fonction régulière,

on voit que ^(w) est régulière au point a; il en est de même des A. ET L. 3

autres pôles. D'ailleurs on a, d'après les propriétés des fonctions Z,

4>(a-+-2aj')= *(a) ^ (A -h B H-. . .4- L),

car les fonctions Z'(w), Z'^(w) sont doublement périodiques. On verra, comme plus haut, que la fonction régulière <!> est constante et que, par suite, la somme des résidus A + 6 + . . . + L est nulle. L'expression générale d'une fonction elliptique est donc

/{u)= Co-hV rAZ(«* — a)— A,Z'(M — a (33) / H-^Z''(a — a)-+-...