a — i) da^-^ J

la somme étant étendue à tous les pôles. En outre, les relations

.IfiB

cil ire 1

les i>(Me< Pi le* cocrPicicDU tics parties princi

pales

où l'o,

[i fail successivenieol p = o, t, a, ,.., {m— i

. Exemple. — Suit

Olle

foncliou vérifie les relations

Si dune on fait, pour un moment,

celte fonction F vérifie les deux dquaiioDs

Pour cette fonction F le nombre entier désigné par m est donc 3. La fonction f(x) admet dans un parallélogramme des périodes les deux pôles simples et w avec les résidus respectifs ^ —

et — u', . u / r Comme u est éffal à œ-i-tà' — -. la fonctioD

F(«) admet les deux pôles

c les mêmes résidus

FONCTIONS A MULTIPLICATEURS EXPONENTIELS. 869

On a donc la formule de décomposition

d'où, en revenant à la variable x et remplaçant A, B, a, h par leurs valeurs

H'(o)H,(o) / , (0 , to\ / , w , a)\

Si Ton met pour ces fonctions ^2 les séries servant de définition, on a

H'(o)Hi(o)

H(2?)Hi(2?)

= > (— l)«ûr2«' COt (x 2/10)') COt (37 — 0) — 2/ia>') .

La seconde cotangente est égale à — tang — (^ — 2/iw^); on a donc enfin, en réduisant.

^ sin — (a? — 2/10))

On établira de même, à titre d'exercice, la formule

H'(o)H ,(o)7rt— '-"-^'^

ll(0) TZl VT^ , . ; TU r , . ,-,

-îr— ^ = — > (— 0''^ ^ cot-ra7— r2/i — i)o)'i.

M. Hermite a montré l'importance que présentent les développements de ce genre pour les applications à l'Arithmétique.

224. Formule de décomposition dans le cas de N positif. N = m.

rmzui

— Soit ^{u) une fonction aux multiplicateurs i et e ^ , Supposons que celte fonction admette les pôles simples a, 6, ..., / non deux à deux homologues, avec les résidus A, B, . . ., L. L'expression

^(w)= F(m)-}- A xm(a, w)+ B Xm(^, w)-4-. . .4- Lxm(^ m)

est une fonction aux mêmes multiplicateurs, mais rH ayant plus A. ET L. 24

Xm(A u) admet les malttplioatt^urs i ete " (a" SSI ). En outre, J pic, on a

depâles. En effet, chacune des fonctions F(u), 7 ni(a, «),

Xm(A u)a<imetleainaltt| dtns le voisinage de u =^

F(a)» -^^ h fonction rfgohVi

XM(att) = -t-fonciiim r<*fiiili*i

et les aatres fooctloas -/,»(/', u) '/«(^ ") ^""^ régulières,-!

Dans la comblnaisoD donnant 'V, dispai-ah. Le même fait s«. J

produit en tous les pAles de F{k). I-J fonction 1'("). admettant

Gt étant partout Unie, est nne des n''219. Elle t^si donc de la

les multiplicateurs i et e fonctions entières C(u) ^tudlé< forme

X,E*(u)-t-;, l^,iui^

où X«, X|, ..., X|»| sont d'-$ constantes détermiaées. On a alors 1 la formule ,

I F{«) = -Ax„(«,«)-Bx^(6,u)-...- ( -h-XoEo{m)-^-X,E,(m)-i-...+ X,„

On pourra déterminer les coefficients Î-d, ).|, . - -, î.m t en attribuant m valeurs numériques à la variable ». Pour une étude plus détaillée de ce point, nous renverrons aux Mémoires de M. Appell,

Dans le cas des pôles multiples, chaque terme de cette formule doit être remplacé par une somme telle que

-Aï.(a,«)-A

rf'-'l.(a,i.)

Dans ces formules il n'y a aueune relation nécessaire entre les pôles et les parties principales correspondantes, \insi, quels que soient les points a, b, ..., ^ et les constantes A, B, ..., L, Xo, ),,, ...,

FONCTIONS A MULTIPLICATEURS EXPONENTIELS. 3yi

Am-o la fonction définie par la formule (a8) admet les multiplica-

m Tt ///

leurs I et r ^

225. Résumé. — On voit que le même élément simple '/m{^t y) peut être employé pour la décomposition des fonctions F(z^) à

N TT ni

multiplicateurs i et c *** , queN soit positif ou négatif. Quand N est négatif, N = — m, c'est x qui est la variable u et y qui coïncide successivement avec les pôles. Quand N est positif, N = m, c'est j/- qui est la variable u et x qui coïncide successivement avec les pôles.

PÊBIDMB ÉQDI?lUBinX8. N(mOMS 8DE IS 1^^

L — GÉmiiAUTÉi.

S96-PéviodM éqiiintailM. — Soient aûi et a«/ une ptire de périodes primitives d'une fonction elliptiqae. Posons

a, bj Cj d désignant quatre nombres entiers positifs, négatifs ou nulsy tels que

Ea résolvant alors les équations (i) par rapport i «» et «/, on

trouve pour co et iù' des fonctions linéaires et homogènes à coefficients entiers de o>| et o)'^ ; par exemple, si ad — èc= i, on a

On dit que 2o> et a co' d'une part, aw^ et 2iù\ d'autre part sont des systèmes de périodes équivalentes. Une fonction admettant les périodes aw et 2w' admet également les périodes 2C0| et 2co'^ et réciproquement. En effet, si une fonction F (a) admet les périodes 2 o> et 2 (o', on a

F(tt-H2C(d'-4-2rfw)= F(m);

donc

F(MH-2a>'i)=F(tt),

et la fonction admet les périodes 2(0^ et aw^. La réciproque se démontre de la même façon en partant des relations telles que (2).

Si une fonction F (m) admet les périodes aw^ et 2{ù\ on a

F(u — ic(t)\-i-iaiiii)= F(m);

donc

F(M + ato')=:F(M),

227. Rapport des périodes. — Nous avons supposé que, dans le rapport des périodes

la

le coefficient de i est positif. Nous allons démontrer que, dans le rapport

des périodes équivalentes, le coefficient de i est encore positif si

ad — bc = -\-i;

il serait au contraire négatif si Ton prenait

ad — bc = — i.

En efiet, soit

io'=a'-+-P't;

on a

a/ (a'-hP^t)(a-Pt) '^ ~ w ~" a2H-p2 '

le coefficient de i est donc du signe de

' Soient maintenant

a>i = ai -h Pi if, Wi = aî-+-Pii;

les relations (i) donnent

p; = ap'H-6p, pi=cp'-+-t/p.

On voit que

«1 Pi— Pi «!=(«?'— pa')(ac?— 6c),

374 CHAFITKS XIII.

et si l'on prend ad — 6c = i ,

doDC le coefBcîeot de i, dans

i', am'-\- ft«É OT -t- fc

a également le signe -(-.

Si l'on avait ad — be=^ — i, le coefHciom de i dan^ t, s négatif.

éqairaleitlM. —

H> = amu -h- aitu'

dans lesquelles m et n, m^ et ni prennent toutes les vsleui dires positives, négatives on oalles. lies points w forment les sommets da réseau des parallélogrammes construits avec les périodes au et au'; les points «■,, les sommets du réseau aDalogutconstniit avec a<tf| et a*»',. Nous allons montrer que ces deux réseaux ont les mêmes sommEts, c'est-à-dire qtic les quaalilés it'i sont, à l'ordre près, identiques aux quantités ic.

En efTet, chacune des quantités w, fait partie de la suite des quantités w, comme on le voit, en remplaçant, dans w^ , u, et ia\ par leurs valeurs (i) en fonction de w et w'. Inversement, comme ad — bc i=dr i chacune des quantités w fait partie de la suite des quantités w,, comme on le voit, en remplaçant, dans w, ta et w' par leurs valeurs (2). Donc, si l'on suppose ad — bc^^±i les quantités w sont, à l'ordre près, les mêmes que les quantités n>,. Les deux réseaux ont les mêmes sommets.

On peut remarquer, en outre, que les parallélogrammes du premier réseau {aw, ato') sont équivalents en surface à ceux du second {11»,, au,). En effet, les trois points

sont les sommets d'un triangle qui est la moitié d'un parallélogramme des périodes 2(i> et ao>'. Si l'on fait

PERIODES ÉQUIVALENTES. '^y5

la moitié de l'aire de ce triangle est Si l'on fait de même

la moitié de l'aire du triangle de sommets

o, awi, 2tù\ est

Or nous venons de voir (n° 227) que ces deux quantités a^' — ^a' et a^^ — ^a'^ ont même valeur absolue. Le théorème est donc démontré.