II. — Notation de Weierstrass

229. Formes en nombre inâni de la fonction a'. — Considérons le produit doublement infini à l'aide duquel nous avons défini la fonction du

\ ii * if! u i I [ i— —]e^^^ ^'

w = 2 mtù -\- 2 rtij) , > o, dbi, =iz 2, ...,

et soient 2(0|, 2 (ù\ des périodes équivalentes à 2(o, 2(0'; les quantités

Wi — a/niWi-t- 2/iia)i, > o, dz i, ±: 2, . . .,

/il — )

sont les mêmes, à l'ordre près, que les quantités iv; le produit

\ — * ifl

est donc composé des mêmes facteurs que le produit précédent; ou, en précisant, tout facteur de l'un des produits est aussi un facteur de l'autre produit. On sait que Tordre des facteurs n'intervient pas; on a donc

376 CRAriT» XIII.

OB, en désignant ptrrf(u[ M, »/), It foiictinu^dditt les xt^ros sont •MM •*• su**',

•oni U seule condition tfoe les périodes »ii),, ^id)', sont équivalentes lox périodes su et ai/.

Ainsi U fonction tf ne change pas ^ uand on remplace la paire de périodes primitives, qai a servi à la lonsmiii-e, pur toute autrepaire de périodes équivalentes. Il en fsi 6c mt^mt, èvidcnutient, des fonctions Ç et p qni se déduisent do i par den, dîlTi^rcntiatloDS, Cestce que l'on voit aossi en partant <1l'$ séries qui déQnisseal. Ç(u|w, vf) et j)(b|u, u*). Quand, dans cf?s si'ries, on remplace^ au et ati/ par les périodes étjnivaleti 1 1": ■>.u>, et au',, elles changent pas, car les termes qui IcB composent ue font que; changer de places.

S30. Inrarlasts. iBrariant abaoto 1. ^ Les invariants

w = amH + aabi'

ne ctiangent pas de valeurs quand on remplace les périodes 2i<> et au' par des périodes équivalentes 2(o, et 2cd', . Ce fait est évident, d'après ce que nous venons de voir, car la substitution de ta, et (1)', à u et (1)', dans les deux séries, ne fait que changer l'ordre des termes.

La quantité gj est homogène et du degré — 4 par rapport à (u et 0)'; gs, homogène et du degré — 6 par rapport à <■» et ta'. On peut mettre ce fait en évidence, en écrivant

^'-"■'■7,jI! (.„^-\„,). -

Le discriminant

est homogène et du degré — 1 2 par rapport à u et u'.

Nous allons former une combinaison de g^, et gz homogène et de degré o en a> et w' : cette combinaison ne dépendra plus que du rapport des périodes t. Pour cela considérons, avec M. Klein, la quantité

Cette quantité J, étant le quotient de deux fonctions homogènes de degrés — 12 de (o et o>', est du degré o. Elle ne dépend plus que du rapport t des périodes. Nous mettrons en évidence cette variable unique t dont dépend J, en écrivant cette quantité J sous la forme

On peut appeler cette fonction J(t) X invariant absolu des fonctions elliptiques aux périodes 2(0 et 2(0'. Nous avons déjà re-

0.3 marqué au n° 36 que ^ est une fonction du seul rapport des

périodes : avec la notation de M. Klein, on a (3) 4 = 27-,--.

m. — Fonction modulaire. Groupe modulaire.

231. Propriété fondamentale de la fonction J(t). — Comme les invariants g^ et g^ ne changent pas quand on remplace 20) et 2tù' par deux périodes équivalentes quelconques

a>i = aa)'-+- 6co,

0)1 = co)' -+- û?a), ad — 6c = ±1,

il en est de même de J. Or, quand on fait cette substitution, le rapport

devient

{ù\ az -\- b

(oi cz -h d On a donc

J(ti)=J(t),

ou encore

378 CBAPITIB XIII.

a, b, c, d désignant quatre entiers qndeiHiqaes tels <pi«

La fonction J(t) présente donc c<Ue propriété remarquabU de ne pas changer de Talenr, quand pi rrmplace -; par '^- — -, b, c, (/étant des entiers aisojettts àla seule con'Jiium

C'est la plas simple des fonctions modulaires. Elle nous olTre le tjpe d*nn nonvean genre de fonctions, compreDaiit les fonclioas modulaires, dont le premier exemple a éi^ donné par M. Hermiie, à propos de ses recherches sar la ré^oluiion de réquaiion du cinquième degré, et dont les propriétés gifnéralcs ont été principalement étudiées par M. iUein (Vojez Vorlesungcn tiber die Théorie der eîtiplischen Modulfunctionen , ausgearbeitet von D' Robert Friche, Leipzig, Teubner; 1890). Ces fonctions sont d'ailleurs un cas très particulier des foDctions fuchsîeoiies et hleinéennes dont la théorie a été crét'e par M. Poincaré (Acta Afathematieay 1. 1). ,

S32. La fonction J est paire- — Dans la relation fondamentale (4), on peut prendre par exemple a = i, d^ — i, 6^0,

Ceia résulte d'ailleurs évidemment de ce que les invariantes et ^3 ne changent pas, quand on change l'une des périodes w ou tu', de sigoe.

D'après celte propriété, on peut toujours supposer que les quatre entiers vérifient la relation

on peut donc toujours changer à volonté le signe des entiers a et 6 et par conséquent celui de ad — hc. Dans tout ce qui suit nous

nous Hmilerons en conséquence au cas de

ad — 6c = -t- 1.

Nous supposerons la partie imaginaire de z positive : celle de

cz -\-d

est alors également positive (n® 227).