Remarques sur les substitutions linéaires. — Soit
ai -\- b
T, = -jy
cz -^ a on dit que Ton obtient Tj en faisant sur t la substitution linéaire
ai -\- b
(5) -:!= Sx =
ex -i- rf
Substitution inverse, — En résolvant par rapport à t la relation (5), on a une autre substitution
(6) X = Hi^-t^,
que l'on appelle substitution inverse de S et que Ton désigne pour cette raison par S~*. On a alors
X = S— *xi.
Produit de deux ou plusieurs substitutions, — Soit S' une
autre substitution formée avec d'autres coefficients a', 6', c', rf^
Posons
c, a'xi-HÔ'
X2 = O Xi = —, -jj
c xi-f- d
et cherchons la relation entre Ta et t; nous aurons, en remplaçant T< par sa valeur St,
,ç^ a'(ax-4-6)-f-6'(cx-h^)
c {az-\- b)-\- di^ci-^ d)
Cette nouvelle substitution linéaire To = y^ ft* dont les coeffî-
Gx-f- D
ISo Ca4»ITft8 Xllt.
dents lont
s'appelle le produit de S par S^; mi la désigne par S^S* On a Mes-
tiqoanent
AD - BG « («fif— y 0(fNi -* Ae).
La snbstitation SS' est de même le produit de S^ par S : oa I*obtieiit en faisant dVbord la sobslitotion S', pois snr le résultat la substitution S. Cette sobslitotion SS^ est, en général, diflMrente de la substitution S' S. Dans cette notation symbolique des substitutions, il n*est donc pas permis d^intenrertir Fordre des fiieleurs. On peut maintenant imaginer trois substitutions consécniries S, S^ S' : la substitution linéaire obtenue en faisant d'abord la substitution S, sur le résultat la substitution S^, sur le nouveau résultat la substitution S% est désignée par
et ainsi de suite.
Quand deux ou plusieurs substitutions eonséeutives sont les mêmes, au lieu d'éerire SS, SSS« • . . , on emploie la notation des
exposants et Ton écrit S', S*, ....
Remarque, — Le produit de la substitution par son inverse est la substitution identique
que l'on désigne symboliquement par i. On a, en effet,
x = S-iT,;
donc, en éliminant T|,
T = S-»Sx,
ce que l'on exprime en écrivant
S-iS = i;
on a aussi
SS-i = i.
Si l'on répète deux, trois fois de suite, la substitution inverse
PÉRIODES ÉQUIVALENTES. 38l
S""% au lieu d'écrire S~* S"*, S~* S~* S"*. . . . , on emploie des exposants négatifs et l'on écrit S~^, S~^,
234. Groupe de substitutions. — Une suite de substitutions données S|, S2, . . ., Sy, . • ., en nombre fini ou infini,
Q ayZ -h by
Oy'Z — —
CvT -h «v
forme un groupe, si l'inverse d'une quelconque de ces substitutions et le produit de deux quelconques de ces substitutions sont encore des substitutions de la suite.
235. Groupe modulaire. — D'après cette définition, toutes les substitutions en nombre infini
„ az -h b
Sx = -j,
cz -h a
où a, 6, c, d sont des entiers assujettis à la seule condition
ad — bc = 1,
forment un groupe. En effet la substitution inverse de S,
„ , — dx -h b «1 T -h ^t
CZ — a CiT-hai
est encore formée avec quatre entiers «i, è^, c<, rf| tels que
aidi — 61 Cl = ad — bc = i.
Le produit S'S de deux des substitutions considérées est une substitution
At-4-B
Gt + P^
dont les coefficients sont entiers d'après les formules (7) et vérifient la relation AD — BC = i , car on a
AD — BG = (a'd— b'c'){ad — bc)
et les deux facteurs du second membre sont égaux à i par hypothèse.
Le groupe ainsi défini est le groupe modulaire, et l'on peut dire
382 CHAPITB8 XIII.
qoe la foDCiion J(t) esl laissée invaritUe par toales les aobstîliilions de ce groupe.
