BvJbslitiàknMùmiêniÊmM — Tontes
les sabstiiations du groupe modulaire peuvent être engeadiées par les produits des puissances positives et négatives des dteux substitutions
Sxa=T-4-I, (as=l, 6s=l9 ersO, clsl)»
Tx= 9 (as= o, 6ssi, ess iy <f sso),
que Ton appelle pour cette raison les substitutions fondametumles du groupe.
LHnverse de Sx est
S-«x=:x— i; rinverse de Tx est
elle est égale à Tx. Nous ne nous arrêterons pas à démontrer que toute substitution à coefficients entiers
ax-f- fc
cz-^ d
telle que ad — bc =^ i , peut être obtenue en multipliant ces substitutions fondamentales et leurs inverses dans un ordre quelconque, chaque facteur pouvant être répété un nombre quelconque de fois. Nous admettrons ce point dont on trouvera la démonstration dans le Livre de M. Klein sur les fonctions modulaires.
Bornons-nous à remarquer que le fait, que toutes les substitutions du groupe modulaire peuvent être obtenues par la multiplication de deux substitutions fondamentales et de leurs inverses, a déjà son analogue dans la théorie des fonctions doublement périodiques. Si Ton appelle 20) et aw' les deux périodes, une fonction doublement périodique F(w) ne change pas de valeur quand on fait sur u toutes les substitutions contenues dans la formule
m et n étant deux entiers quelconques. Ces substitutions forment
PERIODES EQUIVALENTES. 383
un groupe qui admet comme substitutions fondamentales les deux
substitutions
Sa = w H- 20),
dont les inverses sont
Tl est évident que par la multiplication de ces substitutions on obtient toutes les substitutions de la forme u -\- irritù -\- intù' ,
237. Interprétation géométrique. — Pour représenter géométriquement la double périodicité, nous avons divisé le plan en cases qui sont des parallélogrammes tous égaux, et nous avons remarqué que la fonction reprend les mêmes valeurs aux points homologues de toutes ces cases. L'une de ces cases étant choisie comme case fondamentale, quand le point u décrit celte case, les points homologues, u + irruù -i- intù' ^ décrivent chacun une des autres cases.
On peut opérer de même pour la fonction modulaire J(t). Comme nous supposons la partie imaginaire dcT positive, le point représentatif de t est dans le demi-plan situé au-dessus de Taxe des quantités réelles. On peut alors décomposer ce demi-plan en cases telles que Tune de ces cases étant choisie comme case fondamentale, quand le point t décrit celte case, les points
ax -h 6
ex -4-C?
a, 6, c, d entiers tels que ad — bc = i, décrivent chacun une des autres cases. La fonction J(t) prend alors la même valeur aux points correspondants de toutes les cases et il suffît de la connaître dans la case fondamentale, pour la connaître dans tout le demiplan.
Cette division du demi-plan en cases peut se faire d'une infinité de façons. La plus simple est celle que l'on réalise avec des arcs de cercle ayant leurs centres sur l'axe des quantités réelles. Le point de départ de celte division est dans l'interprétation géométrique des substitutions linéaires, à coefficients réels, à l'aide de la combinaison de deux transformations successives par rayons
394 CBAtlTiS XIII.
vecleors féciproqnet, telle qu'elle rétulte des trManx de MM. Klein, Schwan et PoiDcaré,
IV, «- NoTAnen m lâeen.
238. T»pf eeelott de J(t) êa fanetien éa moJwI» k. — Noneerons indiqué (n^ 87) la relation qui lie la fonetion pu aux périodes a«> et a«/ à la fonction snu aux périodes aK. ei alK/. Nous UYons vu que le rapport des périodes est le même
»' iK'
t «X — as -v.
et, en désignant par X une constante auxiliaire, nous avons trouvé pour les racines ei , es, e« 4es valeurs
3>seisa— A«, 3X«es=ssi^>— i, sXt«|s-.i-.|a;
on en déduit les différences des racines deux i deux et l'on en conclut en multipliant ces trois différences
On sait que, dans un polynôme
dont les racines sont ei, 62, €3 le discriminant
est donné par la formule On a donc
D'autre part, le produit des racines étant ^ on a
4(25 — A:2)(i — 2A:2)(i-hA:î) ^'=- ^^
L'expression de J en fonction du module s'obtient alors facile-
ment. On a en effet
donc
(2 — X-2^Mr — '2^2)2(1 ^ ^2)2
D'après cette relation, quand J est donné, k^ a six valeurs. Mais on vérifie immédiatement que, si
k^= Il est une racine de l'équation (8) en /r^, les autres racines sont
I IX I jJL I
-, I — ji, ■ ) — - — » •
fX II [l — l i—ii
Il suffit de constater que le deuxième membre ne change pas quand on remplace A*- par l'une de ces six quantités.
Le carré du module k^ est une fonction du rapport des périodes T. Quand on remplace t par -j> a, 6, c, d étant quatre
entiers tels que ad — bc = i, J ne change pas; on en conclut
que k^ ou bien ne change pas, ou bien prend l'une des nouvelles
valeurs
Pour que k'^ reste invariable il faut assujettir les entiers a, 6, c^ d k des conditions supplémentaires dans le détail desquelles nous ne pouvons pas entrer. Les substitutions spéciales du groupe modulaire qui n'altèrent pas /r^ forment ce que l'on appelle un sous-groupe.
Nous indiquerons, en terminant, quel est, pour la fonction H de Jacobi, l'effet du remplacement des deux périodes, qui ont servi à la construire, par deux périodes équivalentes.
239. Formes en nombre infini des fonctions de Jacobi, Fonction H(a). — Considérons la fonction
H ( a, g)= 2. y q sin 1>J q^ sin h . . . ,
ITTO)'
Uê CBânTM XIII.
el en mtaie temps la foselioa H^, Q) dont le déreiop|ieflieBl se déduit du pèchent eo y lemplataiit st# et at/ per les périodes éqnivilentes at#i et %%»\^ Q étant ee que devient ^ par aoiie de cette substitution
«n 4/xr » 3«n
H(m Q)=aJ^sia iî ^af^sla ^^
Nous allons démontrer que les fonetiotts H(if9 Q) et fLim^ q) sont identiques, à un ficteur ezponentid |vès de la forme Ae'^, m désignant une constante* Cela résulte de Tégalité
<]r(n|t*i,Os<]r(n)ti,«É');
car, si l'on y remplace chaque fonction d par la fonction H ccmrespondante (n* Si), on obtient cette autre
dans laquelle p, pn h et A| sont des c<Histantes convenaUemeiit choisies. On en déduit immédiatement
H(«,Q)^Ae«-H(ii,g),
A et a désignant des constantes. Noas allons déterminer a.
Revenons aux notations habituelles des périodes pour les fonctions de Jacobi, en posant
avec
£V = aiK' -h bK,
a, b, c, d étant des entiers tels que (10) ad — 6c = 1.
Ces quatre entiers ne peuvent pas être pairs tous les quatre ni impairs tous les quatre. Si b est pair, a et rf sont impairs; si a est pair, 6 et c sont impairs.
Pour déterminer a remarquons que l'on a
(il) l ciTZ
s étant égal à + i ou à — i suivant la parité des entiers d et c. On
a en effet
H(w-4-2rfK, q) = {-\YYi{u, g):
changeant, dans les deux membres, u en u-\- 2CfR' et se rappelant la formule (n® 77)
on a la seconde des formules (i i) où
£=(— l)rf-HC.
La relation
H(m, Q) = Ae«"''H(a, q)
donne alors, en changeant w en w + 2L dans le premier membre et u eu la quantité équivalente u -f- 2rfK + ici¥J dans le second,
H(aH-2L, Q)= Aea(«+2L)-.H(w-f-2c?KH-2ciK', ^).
Divisant membre à membre ces deux dernières relations en tenant compte des équations (11) nous trouverons
(12) — I = ee ^
Cette relation ayant lieu quel que soit w, les termes en u doivent disparaître dans l'exponentielle, d'où la valeur de a
