KL

Comme vérification, remplaçons a par sa valeur dans la formule (12) et réduisons en remplaçant L par rfK + crR', nous obtenons

— 1 = t{—iYo

ou, d'après la valeur de e,

relation évidente, car rf et c ne peuvent être pairs tous deux.

3Si CaâMTSS XIII.— »iBtO»BS iOVITâUllITSt»

Oa a done, en définitm» régêlité fandamenlale

(i3) H(mQ)«A#'T»rH(mf),

où A esl une constanie i|ii*il reste à détemimcr. Nous ne naos oeeoperons pas ici de ce calcvl.

On Toil que, ao point de voe o& nons nôns plaçons ici, la fonction H de Jacobi se comporte d'une fa(on moins simple qne la fonction tf, puisque d ne ckange pas quand on remplace les périodes par des périodes équivalenteS| tandis que H se ,r^rodait multipliée par une exponentielle.

Cette relation étant obtenue, on en dédoit aisément des rdations analogues entre les fonctions 6, 6|, H| c<mstruites d'une part avec K et iK'i d'autre part avec L et iV. Il suffit dans la formule (i3) de remplacer, dans le premier membre, u par n + L, ou n + iL', ou tt+L-hiU, et dans le second membre, npar les valeurs ^ales

ii4-rfK4-c«K', ou a+6K+a«K'ouii+(^-i-<30^+(^+^)''^'* Tenant alors compte des relations du n* 77, on aura les relations demandées. Ces rdations prennent des formes différentes suivant les parités des nombres a, fr, c, d. Elles permettent d'exprimer le module des nouvelles fonctions elliptique en fonctiim de k.

Nous ne les écrirons pas, et nous renverrons le lecteur au Cours de M. Hermite à la Faculté des Sciences, où les calculs sont poussés jusqu'au bout dans une hypothèse particulière sur les quatre entiers.