ADDITION \ LA NOTE I

IMPOSSIBILITÉ d'une FONCTION L'Nl FORME ET CONTINUE AVEC TROIS PÉRIODES.

Imaginons une fonction /(^) d'une variable imaginaire z avec trois périodes a, p, Y dont les rapports sont imaginaires. Nous allons montrer ou que la fonction est constante, ou que les périodes se réduisent à deux.

Remarquons d'abord que la fonction admet comme périodes toutes les quantités

(i) Ma-4-Np + PY,

M, N, P étant des entiers positifs, négatifs ou nuls. Construisons ensuite, dans le plan représentatif des imaginaires, le parallélogramme des périodes a et p, OABG, ayant pour sommets les points

Un point quelconque z du plan a, dans ce parallélogramme, un homo-

CoB^détw» ator* les n* pointi

Tf. n. 3t rntir.t rt li-iirs liomu)n;;iK'«

La fonction admet comme périodes toute* le» quantités x,, Si, .... «,> et les dilTérences de ces quantités deux i deux, car ces quantités et leurs différences sont de la forme (i).

Appelons X la longueur de la plus grande diagonale du parallélogramme OABC. Si tous les points

(a) -Zl, -21, .... Xn'

sont distincts, il en est que En effet, di

loios deux^v et3)j,dont s les câtés OA et OB e

s par les poin logramme OABC : nou

a distance est moindre

(n — i) parties égales

i de division des parallèles aux côtés du parallédiviserons ce parallélogramme en (n — i)* cases

égales entre elles ayant pour grande diagonale ; sur les n* points(2).

il en est forcément deux, au moins, ^v ^t Zji, dans une de ces cases. Leur

distance est alors moindre que • Analytiquenient le module des, — 3^

est moindre que ■• La fonction admet donc la période

dont le module est moindre que

co„l<--

Deux cas sont à distinguer :

1° Quelque grand que soit n les points (2) sont toujours distincts. La fonction admet alors une période non nulle w^^ dont le module peut devenir aussi petit que l'on veut. Elle est constante, car

donne, pour n infini,

;i° Pour une certaine valeur de /i, deux des points (2), Zy et z^^ coïncident. On a alors

relation de la forme

(3) /?a-+-^8-hrY = o,

/?, Çj r étant trois entiers qu'on peut toujours rendre premiers entre eux en divisant (3) par les facteurs communs à/?, ^, r. Les périodes se réduisent alors à deux.

En effet, appelons s le plus grand commun diviseur de p et g : on peut déterminer deux entiers p' et g' tels que

Posons

a et b sont des périodes de la fonction, car — et — sont entiers. Les équations (5), résolues par rapport à a et ^, donnent

et la relation (3) devient

(7) 5a -H ry = o,

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