CONVERGENCE DU PRODUIT DOUBLEMENT INFINI QUI SERT

A LA DÉFINITION DE o'm.

Pour définir <iu nous avons considéré le produit doublement infini

/ tV = 2/Wa> -f- 2/10)', II'('-I)*^"''^' pi =«'±'.±-.±3, ±...,±00,

\ w = o exclus,

et nous avons admis que ce produit est convergent. Pour le démontrer, nous établirons la convergence de la série obtenue en prenant les logarithmes des facteurs

Si l'on choisit pour détermination du logarithme de (i j celle qui

tend vers zéro quand w devient infini, le terme général peut s'écrire, en développant le logarithme en série :

et l'on voit que le rapport

tend vers i quand w devient infini. D'après cela il nous suffit de considérer la somme

ou encore de démontrer la proposition suivante : La série

= o, -h I, ± 2, db. . ., n •

(2/ntO -+- 2/10)'!^

(m = o, /i = o exclus)

est une série convergente.

3g6 KttTI il'

Non* raprodnirov* tue dteoistratiou tk ce tli^orfmc duc â Ei!>^.nsteio, tells ^'dÛe ett e^poiée iwr M. Homiite (Court de In Fucullé des Seiatte—, V éditû», p. aiS).

Soint#et^lM coordonnéot rnrtc«iennes d'un poÏDt, envisageons l'cl' UpM donaie par l'iqaitit» ^M

mo4*(aiux ft.ut'x)= 1 ^1

ofe h pranier mentirent I« Mm.- du modnicdn iiaïai -^ zia'y, el Aésignom par A tOB fnai axe. Poar tontes le» valeur» de :r et de ^ qui rcpréseatenl an point de la eonrbe, oa a doae

on bieD, eoBne eacepoiat |aod*(«wai-»-9H'^)ni,

afi-t-j^< A« mod'CsM* + *•»•

Cette relation <t>Bt homogène par rapport nx nriaUaa m fH. y nbaiate ■i l'on y remplace mtiy par \m et 1/', 1 éuat ane quantité qndeoaqne; elle A donc lien qnellea que K^eat les Talenrs de ar et d&^. Hons la mettront aoni la forme

Une limite tnpérienre dn module de la tomme conaMMe eat donc

A. >^ j et il suffit de démontrer la coDvergence de cette série

(/n'+n'jï qui est d'une forme plus simple.

A eet effet, partageons le plan en carrés par des parallèles aux axes Oy et Ox dont les abscisses el les ordonnées représentent tous les nombres entiers. Les sommets de ces carrés, l'origine étant mise à part, ont ainsi pour coordonnées tous les nombres entiers et correspondent aux divers termes de la série

(nt' + «')»

Considérons d'abord la suite formée par la somme des termes corre< pondant aux sommets situés sur la bissectrice Oa de l'angle des cooi données xOy\ pour ces points on a m = n: la somme envisagée est doi égale, a un facteur numérique prés, à la série simple

elle est par suite convergente.

Prenons maintenant la somme des termes pris sur O iP et dans l'angle a? O -s; il sufGra évidemment d'établir sa convergence pour démontrer notre proposition.

Soit, pour abréger l'écriture,

et posons

Ml = (1,0),

Ufn = {rn, o)-i-(m, i)-^. . .h- (m, m — i),

la série simple à laquelle nous sommes amenés, savoir

Ml -h M2 -h W3 M- . . . -I- w„t 4- . . . ,

est manifestement convergente. En effet, chacun des m termes qui composent u,n est plus petit que le premier (m, o) qui est égal à — r- On a donc

Ainsi la série ^^u^ a pour limite supérieure ^ — ^ dont la valeur est

finie.

La série proposée est donc convergente et a une somme indépendante de l'ordre de ses termes; comme nous l'avons dit en commençant, on en déduit la convergence du produit doublement infini qui sert à définir o'm.