EXERCICES SUR LE CHAPITRE II

1. Démontrer les formules suivantes que nous empruntons au\ Formules et propositions pour l'emploi des fonctions elliptiques, d'après les Leçons de Weierstrass, rédigées par M. Sclnvarz, traduites par M. Padé.

Dégénérescence. — Quand w'= ce, w étant fini et différent de zéro, on a (3)

ft 2

UT. i f - y-

COt h ^ — ".

^U = gi^ 2(o7 s,,l

2T,tO ^

On le démontrera en rapprochant les formules des n°' 23 et 37. Formules d'addition pour pu et conséquences.

(Gp-^ u — ^ g:2)(pv —pu)-h /^p'^u — ff,pu — f^jZf: p'up'v ■ ( 6 p^' — I .;;'-., ) ( ]) u — p 1- ) -h 4 ,p^ i' — g-i p c — ^3 zTz p' u p f

2(P" PV — i -2)(p ?i + pt') - ^3+ p'" P'V

, 2(,)) UpV — \gi)ipU^pV)— g^ dz p' U p'v

,p(» ± V) l{pupV-^r-\giy--\-'i.gi{pU+pv)

(7) p(» + .)-p(»-0= (pa-p.)-^ '

(8) =->P" — ;j^'"g(P" — P'^)= 2pi'- — lo-(p» — pp).

E xi: KOI CES SUR I. E CIlVPITIli: II.

p It p V

{pu — pv)- OuOv

{piipv -^ Ifi^i)-^ frApit -^,P'')

log(j)« — pf j,

{pu — pvy^

) ■• ^ ' L(j)('-p«r' -i {v^-ptiy^y

p' u — p'i- — p'(// -1- «' )— p'Ct')

pu—pv p(" + »')— P(t')

I pu pu

p(2J<)= ; — = pu -p-

^^ ' Jip:iu-ff,pu-ff, ^ d du

Par rinlégralion on déduit de la dernière formule

1 a'i -au) -i u 2 n' u

T'ogJ''"-

:f('2u)= ij* u ^j-^ = 2 j «(3^ «)* — 3 3^'// j /< j n -\- -i^ u -j u.