partie principale relative à l'un de ces pôles est tt
le résidu correspondant est mil. Cette fonction pu est donc
analosrue à la fonction . , donnée par
d- log sin u du-
u- Xd i^u — niT.)'-
La fonction p{u — «), où a est constant, a pour pôles doubles les points a et a + 2moj -h a/iw'; la partie principale relative à
un de ces pôles est r-', il y a un de ces pôles
^ {u — a — -xiniù — m M y- -^ '
et un seul dans chaque parallélogramme élémentaire.
Périodicité de pu. — La fonction pu admet les deux périodes 2 0) et 2tL>'.
En effet, si l'on forme la différence p {u -\- i^ù) — pu, on a
p(M-i-2co) — pM= ^ î ; ^ + 7 7 ' ^ — ; '— ,
/[« — liin — i)ui — -iiuji']- [u — -2 m M — iiitji' )-\
où la dernière somme est étendue à toutes les valeurs de m et n sans exception. Cette dernière somme est évidemment nulle, car, en considérant les termes qui correspondent à une même valeur
GÉ.NKRALITÉS S l" R I. K S FONCTIONS H M, I PT IQ f E S. 25
de /?, on voit qu'ils se délruisent deux à deux. On a donc (i6) p(u-}-io)) =: pu;
de même, on lrou\crait
Effet de V addition des périodes à l'argument de tu. — Intégrons ces deux dernières relations en nous rappelant que l'intégrale de pu est — ^ ou — ^u., nous aurons
l w ( « -f- 2 tO ) = ![ « -r- 2 r. , ( I - ) •
où 7, et // désignent deux constantes introduites par l'intégration. En faisant dans ces relations u ^ — to, puis « = — to', on a
Ç(W) = ^(0J)-^2T,, ^Co/) = r(— w'j-h 2t/,
d'où il résulte, puisque C est impaire,
(i8) -'.^li^^), V=r(<o');
ces constantes r, et r/ sont ainsi exprimées par des séries convergentes.
Notation de Jacohi et de M. Hermite. — Dans la notation de M. Weierstrass c'est cette fonction ^ ou ^ qui joue le même rôle
que - dans la théorie des fractions rationnelles. Dans la notation
de Jacobi, légèrement modifiée par M. Hermite {Crelle, t. 84), ce rôle est joué par la fonction impaire
(19) Z{u) = lu— '-^^u,
qui ne diffère de "C que par un terme linéaire en u choisi de telle façon que Z(«) admette la période 2to. On a, en effet,
Z ( i< -!- 2 oj ) — Z ( « ) = !; ( i< H- 2 w ) — Lu — 2 T, = 0,
Z(«<-i-2ci>) = Z(«); puis
Z ( « -1- 2 Oj' j Z ( M ) = ^ ( ?< -f- 2 O) ) — ^U ,
Z(« -T- 2w') = Z(if) — — (t^iC-j' — wt/).
26 CIIAPITRK II.
Dans la notation de M. Wcierstrass les deux périodes jouenl donc un rôle symétrique, tandis que dans celle de Jacobi une des périodes joue un rôle spécial.
Nous verrons plus loin que la constante r^io' — (oy/ n'est pas
nulle; elle a pour valeur ± -^ où il faut prendre le même signe
que le signe du coefficient de i dans le rapport — • Pour le moment nous poserons
(20) t^m' — wr/= 0.
Alors Z(«) vérifie les deux relations
I Z{u -h ivà) = Z{u), ^^^^ j Z(«-i-2co') = Z(zO- — •
La fonction 'L[u), ne différant de "Qu que par un terme linéaire en II, a les mêmes points singuliers et les mêmes parties principales.
Ainsi, cette fonction Tj{u) a pour pôles simples de résidus + i tous les points u = 0, « = iniu) -\- ijhù'] il y a un de ces pôles dans chaque parallélogramme; ils sont tous homologues de l'origine « = o dans le réseau des parallélogrammes.
La fonction Z(« — a) a pour pôles simples de résidu + i les points u =z a et u zz= a -'r 2 ww + 2/110', homologues du point a dans le réseau des parallélogrammes. Par exemple, dans le voisinage de a = cr, on a : Z(;f — a) égale fonction régulière.
Effet de V addition des périodes à V argument de du et de H(?^). — Si l'on intègre de nouveau les formules (17) où
U f^ = -~~s on a
l0ga'(M-j-2C0) = logC'M-}- 27)^-+- log C, log 3'(m -i- 'Ito') = logCfif -h 2Tj'ii -+- loge',
loge et loge' désignant des constantes d'intégration. En passant des logarithmes aux nombres, il vient
<y { u + 2 oi' ) = c' e-'''i' " -j u .
G ÉNKKVI. ITKS SUR I.KS FONCTIONS ELLIPTIQUES. 27
Dans la jiremièrc de ces forimiles faisons u = — to cl rappelonsnous que, du étant impaire, on a d( — oj) = — a'co. Nous trouverons
ce-2r,w= — 1, c= — e2r,w.
La seconde relation donne de même
J^a fonction d vérifie donc les deux relations
l s' ( fi -t- •>. (0 ) = — e2-/;'«+(o' 3- u^ ( 22 )
On conclut de là, par l'application répétée de ces formules, la valeur de ^{u + iiikj) -\- 'iiim') en fonction de 3'«, m et n désignant des entiers positifs, négatifs ou nuls. Cherchons d'abord l'expression de d[u-^ o.by -\- 'i^'). Changeant, dans la seconde des formules ci-dessus, ii en a -\- o.tù et tenant compte de la première, on a
Mais, comme /•.to' — (oy/^± —, on a
( '23 ) cr" ( « -}- i w -i- 9. w' ) = — e^ ' o+r/) ■«+w+03'; ^^ ,< .
On vérifiera de même que, m et n étant deux entiers quelconques positifs ou négatifs, on a
(24) 3'(« -+- "Xinti} + 2/uo') = ( — iy««+/«+«e2(wo+«r/)(K+mw+«o)')cM.
Dans la notation de Jacobi on remplace la fonction a", dont la dérivée logarithmique est ^u, par une fonction H(?i) {liétade ^^), également impaire, ayant pour dérivée logarithmique Z(m) {zêta
de II)
ll(u) :ru w
On a donc, en intégrant,
log H(j<) = los^u '- U--+- lotrp,
logo désignant une constante d'intégration, et, par suite,
(25) H(w) = pe 2« cfef.
Pour déterminer p, divisons les deux membres de la relation (20) par u et faisons tendre u vers zéro; - — tend vers i,
— ^^ — - vers la valeur H'(o) de la dérivée -r- pour i(z=o. On a
u ^ ^ au ^
ainsi p = H'(o)^ et la formule (20) devient :
La fonction H(z/) admet les mêmes zéros que ^m. Elle vérifie les deux relations
/ H{u -hio») = — }i{u),
l H(i< -+-2co') =— e " H(i/),
OÙ ù désigne comme plus haut la quantité r^to' — tùr/. Ces relations se tirent, soit des relations que vérifie a", soit, par l'intégration, de celles que vérifie Z.
En effet, intégrant les relations (21), on a, puisque Z,(w) =-777 — ^»
log H ( ?i -H •! W ) =: log îl{ll) ■+- log C,
2 0 log H (if H- 2 0)') = log II (u) ^- Il -r- loge',
OÙ c et c' sont des constantes. On en déduit
H ( ii -f- 2 w ) = c H ( « ), H(f< -^ 2w') = c'e f^ H (a).
Faisant dans la première u = — oj, on a, comme H est impaire, c = — i; de même, faisant dans la seconde « = — 10', on a
c' = — e " . On a bien ainsi les formules (26).
22. Remarque. — On a dès à présent des exemples de fonctions elliptiques. Ainsi la fonction pu., qui n'a que des pôles à distance finie et qui admet les deux périodes 2(o et iio', est une fonction elliptique; il en est de même de ses dérivées p'w, p" u, ....
Les fonctions d, H, J^, Z ne sont pas elliptiques, car elles n'admettent pas les deux périodes 2(0 et 200'.
Nous allons montrer comment, avec les seuls éléments analy-
GKNÉ RAI. ITKS SUR I. KS FONCTIONS K I. L I PT I Qf KS. 29
tiques nouveaux que nous venons de définir et qui se déduisent tous de du, on peut exprimer toutes les fonctions elliptiques.
23. Cas de dégénérescence. — Lorsqu'une des périodes 2co ou 2 w' devient infinie les fonctions i et p se réduisent à des fonctions connues. Supposons, par exemple tu', infini et prenons la fonction p. Dans la série qui définit ja//, «' est infini dans tous les termes où figure (x)' , c'est-à-dire où n est différent de zéro. Tous ces termes sont donc nuls et J)(^^) se réduit à la fonction
pC", w'= y.):
A + yT-
U- ^mà fl
( Il — ). ni oj )'- 4 m- oj^ J
la somme S' étant étendue aux valeurs positives et négatives de l'entier m, zéro exclu. Comme la série 2, — i ^st convergente et a pour somme -^) on a
p ( J< , W = ry: ) = -! |- > .
■" I'2 0j2 uï ^à y II — iniio)'-
Mais alors, en comparant à la formule
sin-^ z' M^ (•:; — m — )-
on a
(■27) j)(«, to'= x) = — -^
4 tO- . T. Il
sin- — ■210
En intégrant et changeant les signes, on a
(28) ^(?<, (.0'= a:)= — —-u-\ ^cot^^j
sans ajouter de constante, car ^ est impaire.
Enfin, intégrons de nouveau et passons des logarithmes aux nombres; il vient
T.ll
'( «, to'= x) = ce-*'^' sin
OÙ c est une constante d'intégration. Pour la déterminer, divisons par w et faisons tendre a vers zéro, en nous rappelant que ^^— tend
3o CllAPITKK II.
vers I . On a alors c "= i et enfin
(•2Q) Ï3'( «/, eu = x)= <'5.w- sin
^ *" — -ICO
On voit ainsi qne l'analogie avec les fonctions trigonométriques devient ridenlilé quand une des périodes est infinie.
Supj30Sons que les périodes soient infinies toutes les deux. Alors dans la série p{u) tous les termes sont nuls, sauf le premier, et l'on a
intégrant et changeant les signes, on a
On voit, d'après cela, que la théorie que nous allons développer donnera, comme cas particuliers, les formules relatives aux fonctions trigonométriques ou aux fonctions rationnelles, suivant que Ton V supposera une période infinie ou les deux périodes infinies.
II. — I'remiiîric expression des fonctions elliptiqles. Décomposition
EN éléments simples. CONSÉQUENCES.
24. Cas des pôles simples. — Soit/"(;/) une fonction elliptique ayant les pôles «, b, c, ..., l dans un parallélogramme élémentaire P, ces pôles étant d'abord supposés simples et les résidus correspondants étant A, B, . . . , L. Alors, dans le voisinage du point a, on a
f(u) = 1- fonction régulière,
•^ ^ II — a *
dans le voisinage de b
f[a)= ■- -+- fonction régulière,
Formons la fonction
GKNÉUVLITKS SUR LES FONCTIONS K F. 1. 1 l>T I 0 f KS. 3l
Cette fonction est régulière dans le parallélogramme des périodes P, car dans le voisinage de a = «, par exemple, on a
f(u)= h foncliou régulière,
Z(u — c()= ■ -H fonction régulière,
donc
f{u) — A Z(« — a)= fonction régulière,
et, de plus, toutes les autres expressions Z(« — ù), . . . , Z(« — /) sont régulières au point a.
D'ailleurs, /(m) admettant les périodes 2 oj et 210', on a, d'après les propriétés de Zi(/^) (éq. 21),
/ fp{u -+- loi) = <^(?/),
D'après ces équations, la fonction ^{u) est régulière dans tout le plan à distance finie," car elle est régulière dans le parallélogramme P, et, dans les autres parallélogrammes, elle prend des valeurs qui ne diffèrent que par une constante de celles qu'elle prend dans P.
Nous allons démontrer que <!>(?/) se réduit nécessairement à une constante. En effet, la dérivée ^'{u) est régulière dans tout le parallélogramme P, car la dérivée d'une fonction régulière est une fonction régulière; de plus elle admet évidemment les deux périodes 2 0) et 2to', comme on le voit en différentiant les formules (3o).
Cette dérivée ^'{u) est donc constante, comme étant une fonction régulière avec deux périodes (n" 19)
donc
*(iO=G,»4-Go,
C| et Co désignant deux constantes. Mais, comme ^(u + 2(o) doit être égal à ^{u), G, doit être nul et ^{u) se réduit à une constante Cq. x\insi la différence appelée ^{u) est constante. Ou a donc la formule
(3i) /(«)= Co-i- \Z{\-- a)-h li Z{^ - ù )-i- . . .-i- L74f — l ),
32 CHAPITUH II.
duc à M. Ilerniite et appelée formule de décomposition en éléments simples. Celle formule est analogue à la formule de décomposition d'une fraction rationnelle en fractions simples.
t2o. La somme des résidus d'une fonction elliptique en tous les pôles situés dans iin parallélogramme des périodes est nuUe. — En cfl'et, nous venons d'appeler A, B, ..., L les résidus relatifs aux iiùles situés dans un parallélogramme des périodes; nous avons trouvé que <!'(?/) est une constante : alors on a évidemment <&(// -t- 2to') — <ï>(;/)= o. On a donc d'après la deuxième formule (3o), puisque o est différent de zéro,
(32) A-hB-f-...-h L = 0.
Le théorème est donc démontré.
Ainsi, toute fonction elliptique n'ayant que des pôles simples peut se mettre sous la forme (3i), oîi les constantes A, B, . . ., L ont une somme nulle.
Inversement toute fonction définie par une expression de la forme (3i), oùles constantes A, B, ..., L ont une somme nulle, est une fonction elliptique : en effet, cette fonction n'a d'autres singularités à distance finie que des pôles simples et, d'après les propriétés de la fonction Z, on a
/{u -h iw') — /i^u) = — ■ — ( A ^- B -1- . . . -T- L ) = o .
26. Formule de décomposition en éléments simples dans le cas où certains pôles sont multiples. — Nous avons, pour plus de simplicité, supposé d'abord que la fonction elliptique considérée n'avait dans un parallélogramme élémentaire que des pôles simples. Le cas où la fonction posséderait des pôles multiples peut être regardé comme un cas limite du précédent : il suffit de supposer que plusieurs des pôles simples viennent à coïncider.
Mais nous traiterons ce cas directement, par la même méthode que le précédent. Nous obtiendrons ainsi l'expression la plus générale des fonctions elliptiques et cela encore avec le seul élément analytique Z,(w) et ses dérivées.
GKNKR ALITKS SIR M: S KONCTtONS IC L L M'T ( y I K S. 33
Soient a, b, .. .^ I les pôles de la foiiclion /( /^) dans tin parallélogramme élémentaire et
B B, Bs-i
Il b (u — ù)- (^u — b)fl
les parties principales correspondantes. La difrérencc
— BZ(;/ — i»)— Bi Z'(« — ^»)H L Z"{u — b)^...
est encore une constante; en effet, dans le voisinage de 11 = a par exemple, on a
Z(« — «j= + fonction régulière,
Z'(ii — « ) = : -f- fonction régulière,
Z (m — « ) = } r + fonction réjïulière,
{u — ay ^ '
Z '^-i'(« — a) = (— 1)'^-' '- " — 1- fonction réirulicre.
Donc
A Z ( « — a } — XiZ'{ u — a) -{- ^— Z" ( u — a )-h . . .
(— i>^-i -1- — — — Z!*-''(« — a)~ (pi(«)4- fonction régulière.
Comme dans le voisinage de u = a, on a aussi, par hypothèse,
f{u) = Oi(u)-\- fonction régulière, on voit que ^(u) est régulière au point a; il en est de même des
aulres pôles. D'ailleurs on a, d'après les propriétés des fonctions Z,
<lM II -r-1(.o)= *(«)— — (-^ -I- R -^- ■ •-*- L))
car les fonctions 7J {u), TJ' {u) sont doublement périodiques. On verra, comme plus haut, que la fonction régulière <I> est constante et que, par suite, la somme des résidus A H-B + . . .+ L est nulle. L'expression générale d'une fonction elliptique est donc
/ f{u)^C.,-^.^Wz{u — a)-kyZ\u-a) (33) } + jkz"f« — a)-i-...
^( ,)-a-i i^' Zis'-i' (« — « M .
la somme ^ étant étendue à tous les pôles situés dans un parallélogramme, avec la condition
Ainsi, de même que toute fonction rationnelle est une combinaison linéaire à coefficients constants de termes de la forme
avec la convention que // — ce = — , toute fonction elliptique est,
à une constante additive près, une combinaison linéaire, à coefficients constants de termes de la forme
Z(u — « I, Z'(ii — a), ..., Z'=<-"(?< — a),
avec la condition que la somme des résidus [coefficients des termes
tels que Z(« — a)] est nulle.
Inversement toute fonction /(?/), définie par une expression de
la forme (33), où
est une fonction elliptique, car on vérifie immédiatement les relations
/(' 11-7-2 OJ I — /( u)= o,
/( u-h 7.oj' )—/{u) = ^ ( A -4- B -h . . . -H L) = O.
GÉNliR.VLITlis SLU LKS FONCTIONS ELLIPTIQUES. 35
!27. Formule de décomposition en éléments simples avec les notations de M. Weierstrass. — La formule (o.i) que nous venons d'établir peut s'écrire comme il suit. Nous avons posé
Z{u) = la— '±11.
Donc, en différenliant et se reportant à la définition de pu comme la dérivée changée de signe de ^
Z.'{u) = — pu ,
OJ
Faisant ce changement de notations, on a la formule
OLiDf, désigne une nouvelle constante et où la somme S est encore étendue à tous les pôles situés dans un même parallélogramme des périodes. Les termes linéaires en a qui semblent s'introduire
quand on remplace Z(;<) par "Çti ' /t, disparaissent, car leur
coefficient est ^ ( \-t- B -h. . .+ L), c'est-à-dire o.
28. Remarques. — Dans ces formules de décomposition nous avons supposé les pôles a, b, . . . , l situés dans un même parallélogramme. Cette restriction est inutile en ce sens qu'on peut toujours remplacer chacun des pôles par un point homologue. Ainsi soit
un point homologue de «, on a
Z ( « — a) ~ 7^{ Il — a' -\- ■>. m lo -h i n to'), =^ L{u — a ) — /i — .
36 CIIM'ITRE II.
Remplaçant Z(?/ — a) par celte valeur, on voit que la formule reste la même. La seule valeur de la constante Co est modifiée.
Une autre remarque est celle-ci. Quand on fait choix d'un parallélogramme élémentaire P de sommets
Uo, Uo-i-'>.lO, //o-i-2w', «0-+- 2t0 -+- 2li/,
il peut arriver qu'il y ait des pôles tels que a, par exemple, sur un côté et, par suite, d'autres pôles tels que « -+- ato' sur le côlé opposé. On peut être embarrassé pour savoir quels sont ceux de ces pôles qu'il faut regarder comme étant dans le parallélogramme. Alors on remplacera le parallélogramme P par un autre tracé en
Fig. 3.
pointillé, obtenu en déplaçant infiniment peu le point Uq en v^ de façon à éviter qu'il j ait des pôles sur les côtés. La même remarque sera utile plus loin pour le cas oîi il y aurait des zéros sur des côtés.
29. Règle pratique pour la décomposition d'une fonction elliptique/(«)en éléments simples. — Il faut tout d'abord déterminer les pôles de cette fonction dans un parallélogramme des périodes, arbitrairement choisi d'ailleurs; soient a, b, . . ., / ces points.
Il faut ensuite déterminer la partie principale de /{u) relative à chacun de ces pôles. Supposons, par exemple, que le pôle u = a soit d'ordre a : alors le produit
est régulier et différent de zéro pour ii = a. Si donc on développe ce produit, par la formule de Tajlor, dans le voisinage de u ^ a,
<l{u) = A^-i-!- Aa-?(" — a) + \rj,-3( u — a )- -i- . . . -r- A (il — a )*>'-' -I- {u — %y-^f,'{ii),
g{u) étant une série entière en [u — rt), ou a, en égalant ce dé-
GÉNKU A LITt: s SIR I.KS KONCTIOXS K 1, 1. 1 PT I Q l ES. Sj
veloppemeiil à (// — oY J\u) ci (ll\isaiil par [ti — r/)'^, le dévelopjicmnil
qui met en évidence la parlie principale chercliée. On peut alors écrire la formule de décomposition, quand on a fait ce calcul pour chacun des pôles situés dans le parallélogramrne choisi. D'après une remarque que nous avons faite, on peut, dans ces calculs comme dans la formule finale de décomposition, remplacer chacun des pôles tels que a par un point homologue a + iniM + iinxt'. La principale difficulté pour la décomposition en éléments simples est la détermination des pôles «,6, . . ., /, de même que pour la décomposition d'une fraction rationnelle, la principale difficulté est de trouver les racines du dénominateur. Nous reviendrons sur ce point au n° oO.
30, Il ne peut pas exister de fonctions elliptiques ayant dans un parallélogramme un seul pôle, si ce pôle est du premier ordre. — En effet, si la fonction f{u) n'avait qu'un pôle simple a de résidu A, la formule précédente (3i) donnanty'(M) ne contiendrait qu'un terme \Tj[u — a). Mais la somme des résidus étant nulle, on aurait A ^ o et f{u) = Cq. La fonction serait donc une constante et n'aurait pas de pôle.
Mais il existe des fonctions elliptiques ayant dans un parallélogramme deux pôles seulement, simples tous deux, u=a et u = b. En effet, dans cette hypothèse, la formule (3i) comprend deux termes et l'on a A -f- B ^ o; la fonction f{u) est alors
/([,) = Co+ A[Z(« - a) — Z{u — b)].
Il existe aussi des fonctions elliptiques ayant dans un parallélogramme élémentaire un seul pôle, pourvu qu'il soit d'ordre supérieur au premier; le résidu relatif à ce pôle est nul. C'est ce qui a lieu, par exemple, pour pu qui admet l'origine et les points homologues comme pôles doubles de résidus nuls.
D'une manière générale, les dérivées et les puissances positives de pu sont des fonctions elliptiques ayant dans chaque parallèle-
gramme un seul pôle homologue du point // = o; ce pôle est (l'ordre supérieur à i el le résidu correspondant est nul.
31. Exemple. Décomposition de p-u en éléments simples. — La série qui définit pu montre que, dans le voisinage de i{= o, on a
P" = —, -^G(iO,
G(//) étant une fonction régulière au point o délinie par la série
(36) G(«) = yT ' j--:.
Gomme G{u) est paire et s'annule manifestement pour u = o, on a. en développant cette fonction en série de puissances dans le voisinage de u = o,
G(ii) = ^u'--+- ^^<i-^....
OÙ, conformément aux notations de M. Weierstrass, nous appelons — et ^ les deux premiers coefficients 20 28 ^
Ces expressions de go et g^ s'obtiennent immédiatement en développant chaque terme de la série (35) suivant les puissances ascendantes de ?/, par la formule
I I iu 3î/- 4"^ 5u*
{u — wf
puis en ordonnant la somme par rapport aux puissances ascendantes de II.
On a donc, dans le voisinage de u = o,
et en élevant au carré
37) pu= ~-^^-u'--+-^u'*-i-.
Considérons un parallélogramme des périodes entourant le
GKNK UA I. IT i;.S 8 l U I. KS I' O N C 11 () X S i: 1. 1. I I' T I o l E S. 3g
|)(»iiU // := o ; dans ce parallélograinine p- 1/ a, comme seul pôle, // = o; ce pôle esl trordre /) eL la [iarlie priiicij)ale correspon-
(lai)lecsl —■. d'après le développcmenl ci-dessus. Dans la formule
de d»'eom|)osilion en éléments simples (34) il faudrait donc prendre un seul pôle a = o, puis (x = /\, A = A, = Ao = o, A3 = I . On a alors
1),) désignant une constante.
Il est d'ailleurs aisé de vérifier directement cette formule. D'après le développement de pu on a, en différentiani,
j)' u = - ^ + ^ « + £i if 3 -I- . . . , «^10 7
n "^2 3 fi 3
Donc la différence
est régulière au point // = o, car, dans le second membre les
termes en - disparaissent. La fonction $(«) est donc régulière
dans tout le parallélogramme élémentaire considéré (contenant rorigine), et, comme elle admet les deux périodes 2(0 et 2co', elle est égale à une constante Dq.
La formule (38) est ainsi vérifiée. Pour déterminer la constante, on donnera à u une valeur particulière. D'après les développements de p- et de j)", on a, dans le voisinage de u = o,
Do = p^u-^p"u = ^+...,
d'où en faisant u = o, D„= — • On a ainsi la formule
(39) pUi = -p"u -+- '^^^
On formera de même, à titre d'exercice, les expressions de p^ u, p'' w, ... en fonctions linéaires de p, j)', j)", . . . par la for-
l'O CHAPITRE II.
mule de décomposition en élémenls simples. Ces expressions se lirenl aussi des formules oblenues en diirércntianl la relation (Sg) un nombre quelconque de fois et tenant compte de la relation que nous allons établir entre p et p'.
3:2. Relation algébrique entre pu et sa dérivée p'u. — Multiplions les deux membres de la relation (Sq) par p' u et intégrons par rapport à u, nous obtiendrons une formule qu'on peut écrire
où C désigne une constante.
Pour déterminer cette constante, on remplacera encore p, p' par leurs développements en série donnés plus haut : on vérifiera
que les termes en - disparaissent, et en faisant ensuite u = o, on
u trouvera C = — ""3. On a donc la relation
algébrique en p et p' .
Celte formule donne la dérivée de la fonction inverse de pu.
Faisons
d'où Ton tire, en imaginant l'équation résolue par rapport à u,
u = argp^,
c'est-à-dire u égale l'argument dont le p est :;. La formule (4o) donne alors
du I
La dérivée de u par rapport à z est donc algébrique en z, tout comme la dérivée de arc sin^.
Comme z est infini quand u est nul, on a
/•* dz
J. \/\z^— g^z — gz
formule permettant de calculer u en fonction de z.
G KNKRALITKS SIR I. n S FONCTIONS K L I, I PT I Q l' ES. 4^
33. Développements en séries de puissances de pu, t,u, :fu. — Les constantes go et ^3 s'appellent les deux invariants. Ces constantes étant connues, on a, comme il suit, les développements en séries de p, t, d.
Faisons, dans le voisinage de u := o,
(42) p « = -^ -I- • -I- Cj «2 -H C3 «* -+- . . . -+- C), u
Les deux premiers coefficients sont
(43) c,= ^, o,= ,jfi,
Les suivants se calculent facilement par voie récurrente en substituant le développement de p dans l'équation
et identifiant les deux membres. On trouve ainsi, pour ). plus grand que 3, la formule récurrente
(44) ^>-uX-^i)(.X-3)Z'-^^-^ (v = .,3, ...,À-.),
qui montre que tous les coefficients sont des polynômes en g^ et^n. Ainsi
( 45 ) Ci = -v~^^ y cs = , ;.' ^ '^ . .
Le développement de 'Cu pour de petites valeurs de u se tire immédiatement du précédent par une intégration, puisque ^ ?^ = — f p u du ; on a donc
(46) ^ M = - -^ 5*- — - Co «•■' — 7 Cj U5 H- . . . ,
sans ajouter de constante, car 'C^u est une fonction impaire. Les coefficients de ce développement sont aussi des polynômes en g-j, et ^3.
Les deux développements de J3 et ^ convergent dans le cercle ayant pour centre l'origine et ne contenant dans son intérieur aucun point homologue de l'origine.
Du développement de "Ç on déduil celui de a" puisque
= Lit.
Intégrant et passant des logarithmes aux nombres, on a
C a = lie '-
sans metti'e de constante en facteur, car — '• tend vers i quand u
tend vers zéro. Il ne reste plus qu'à développer l'exponentielle en série et l'on a le développement de du. On voit que les coefficients de ce développement sont aussi des polynômes entiers en g.2 ct^;). Voici les premiers termes du développement
,, , ^ ,^2"^ ,•?•!"' ..irl"' .^.y?-, M'i
2^3.5 -2^3.5.7 29.32.5.7 2"'.3-^.5"'î.7.ii
On trouvera ce développement poussé jusqu'à lû^ dans les feuilles de M. Schwarz (Formules et propositions pour remploi des fonctions elliptiques). Puisque du est une fonction entière comme sinw, régulière dans tout le plan, ce développement de du est convergent pour toutes les valeurs de u. Ce développement est commode pour le calcul des valeurs numériques de du^ d'u, d" u et, par suite, de Z, et p qui s'expriment rationnellement à l'aide des dérivées de d
pu= —
u Cj^U
34. Inversion dans les notations de M. Weierstrass. — D'après ces propriétés, si l'on a une équation de la forme
dz
» 2 *> Cl 3
011 ^o et 0-3 sont des constantes données, on en conclut
3"2 II— S'il -i" U
pu =
a"- Il
z est donc exprimé en fonction uniforme de ?/, et l'on peut, à l'aide des séries précédentes, calculer la valeur de z correspondant à une
GÉNÉU ALITÉS SIR LES FONCTIONS I- L L I I>T I Q l' E S. 4 3
valeur de u ; mais ces séries ont le défaut de ne mellrc aucune périodicilé en évidence. On a ainsi une solution du problème de l'inversion de l'intégrale (48)- Les constantes g^ et g^ peuvent avoir des valeurs quelconques, car l'équation
est vérifiée identiquement par les développements en série cidessus, quels que soient go et g:^.
Nous verrons plus loin comment, gi et ^3 étant donnés, on peut calculer un couple de périodes 2(o et 2co'.
3o. Intégration d'une fonction elliptique. — Pour calculer l'in-
/( " ) du
tégrale
d'une fonction elliptique /{u), on fait comme pour les fonctions rationnelles : on décompose f{u) en éléments simples et l'on intègre terme à terme. Ainsi, dans les notations de M. Weierstrass, f{u) peut se mettre sous la forme (34). En intégrant, on a
I f{ u) du = const. -i- Do« -i-\ A. log a'{u — a ) — AiZ,{u — a)
(l)a-i ^tlzl p(a-3)(„a)].
Par exemple, la formule de décomposition établie pour p- u {n" 31) donne
(49) JpUidu = Jp'«-^ Y^«-hcon?l.
36. Homogénéité. — Pour indiquer les valeurs des périodes ou des invariants, M. Weierstrass emploie les notations suivantes
cfu = :r( u\m, w') = ■f{u; ^2, ffs), pu = p(u\(jj, m') = p{u: ^2» ^3).
D'après le produit qui définit 'iu, il est évident que si Ton multiplie w, w' et u par un même facteur ijl, — ne change pas et
l'on a
(50) j ( IJ.» I IJLW. IJLW') = JX j (»| w, lo').
DifTérenliant par rapport à //, on a
(51) '^' { [x u l y.io , [im' ) = ^' { u \ (.0 . lu').
Donc
(Sa) Ç([Jl«|;JLW, [JLO)') = — Ç(«|to, w').
DifTérenliant encore par rapport à u
(53) p( |JL«i| IJIIO, IJLIO') = -^p(«]w, 0)'),
ce qu'on vérifie d'ailleurs immédiatement sur la série donnant p. D'après les expressions de «o et ^3 par des séries doubles (n°31)
quand on remplace w et to' par p.w et [xw', w est remplacé par unv et ^2 et g3 par ^ et ^ • On a donc aussi
L'expression ^ est une fonction de to et oj' qui ne change pas
quand on multiplie co et w' par un même facteur arbitraire [j.; c'est une fonction du seul rapport des périodes.
37. Cas de dégénérescence. — (^uand une des périodes est infinie, (ji' par exemple, on a
^2=2^3. 5V -^ : T' ^3=22.5.77^— -— TJ
et comme on a (n° lo)
2d'm>^V^^^ iàln^~' 32.5.7'
clz
GKNKRALITKS SUR I.KS FONCTIONS K L I, I l'T K» T ES. 45
il vicnl
Donc on a, dans ce cas,
gl — '^7gl = o.
Le poljnome 4^' — fi'^^- — ©s ^i alors une racine double, et l'intégrale
peut s'exprimer par des fonctions circulaires, comme il était prévu d'après les formules du n" 23. En calculant cette intégrale élémentaire, on retrouverait ainsi d'une autre manière les formules du n" 23 {voyez l'exercice 1, p. 62).
Quand les deux périodes w et w' sont infinies, on a g.j,^g.-^^ o et le polvnome sous le radical a une racine triple. L'intégrale devient alors
qui donne immédiatement
III. — Deuxième forme des fonctions elliptiques. Décomposition EN facteurs. Conséquences.
38. Décomposition en facteurs. — Nous allons indiquer maintenant une deuxième forme sous laquelle on peut mettre toute fonction elliptique /"(//) et qui est analogue à la forme d'une fraction rationnelle dont le numérateur et le dénominateur seraient décomposés en facteurs du premier degré.
Cette nouvelle forme résulte immédiatement des théorèmes précédents appliques à la fonction ^
Remarquons d'abord qu'une fonction elliptique a nécessairement un nombre limité de zéros dans un parallélogramme des périodes. Car, si elle en avait une infinité, il existerait à l'intérieur du parallélogramme au moins un point a dans le voisinage duquel
il y aurait une infinité de zéros; c'est ce qu'on verrait comme on Ta fait au n° 20 pour les pôles. Mais cela est impossible, car, la fonction y(«) n'ayant à distance finie d'autres singularités que des pôles, ses zéros sont nécessairement isolés (n° 7).
Cela posé, soit une fonction elliptique f{u) ayant, dans un parallélogramme des périodes, les pôles ou infinis simples «i, <7o, . . . , Or au nombre de /• et les zéros simples ^i, ^o, . . . , ^^ au
nombre de s. La fonction •^. — - est une fonction elliptique régu-
Hère partout o\if{i() n'est ni nul ni infini. Un zéro simple àe f{ii)
est pour ^. > un pôle simple de résidu i, et un pôle simple
de f{u) est pour '--. un pôle simple de résidu — i (n" 3).
On a donc, d'après la formule de décomposition en éléments simples,
= C -^ — (w — il) H (m — 6,) +- . .-H '^(u — bg)
— ~ {il — cil) — ~ {il — cio) — . . . ^ ^ (u— a,.),
OÙ — est la fonction v. En outre, la somme des résidus de '-^. — - re-
lalifs à tous les pôles devant être nulle, on a
Donc : Dans un parallélogramme élémentaire le nombre des zéros d'une fonction elliptique est égal au nombre des infinis. Ce nombre se nomme ordre de la fonction elliptique; nous reviendrons plus loin sur cette définition de l'ordre.
D'après ce théorème, faisons s^r dans la formule (55) et intégrons terme à terme, puis passons des logarithmes aux nombres; nous aurons la formule cherchée
(56) f{u) = aec'^'''''-^''^^^"'-^'-'^---^^"'-^'-\
cï{u — ai) ^{u — a^). . .(j{u — a,.)
où a est une nouvelle constante. Cette formule met en évidence les zéros et les infinis def(^u).
Si la fonction /(?/) a des zéros ou des pôles multiples, la même
(iÉ.NÉRALlTKS S V U LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 4?
fi)rnuile s'applique; il suffi t de supposer que plusieurs des points />,, h-,, . .• sont confondus en un seul, ou plusieurs des points «,,
Dans la démonstration nous avons supposé que les points «j, rto, . . ., a,-] b,, b-2, . . ., br sont situes dans un même parallélogramme. En modifiant convenablement les valeurs des constantes c et rt on peut remplacer un ou plusieurs points «v ou b^ par des points homologues. Par exemple, considérons le point
homologue de «|. En remplaçant dans la formule (22) «i par a\ — 2 tu, on a
:^(u — ai) = :f(u — «\ -1- ^w) = — gîvKa-a'.+w) 3'(« a\),
et, par suite
/•/ ^ ' ,.,,^(ii - bi) ^( u - b,). . .^( Il — hr)
7 ( II) 1=: et c ~ >
avec
c' = c — 2Tj, «'= — ae2r,(a',-fo).
39. Théorème de Liouville. — Si l'on considère les zéros et les infinis cV une fonction elliptique situés dans un parallélogramme des périodes, la somme des zéros ne diffère de la somme des infinis cjue par des multiples des périodes.
t On démontre immédiatement ce théorème en écrivant que la fonction f{u) sous la forme (56) admet les deux périodes 2(0 et 2tji'. Comme on a
a'{u— %-h ■}. co ) = — e2'l'"-''<+'^' 3" ( « — a ), on voit que le rapport - — j. est égal a
■2C(j)-t-2ï)'«,+a3+...+ar— /',— /'a— ...— 6r.\
Ce rapport devant être l'unité, on a
(57) 'îCùi -\- ■ir,{ai-+- a-î-h. . .-{- a,- — bi — bi — ...— b,) — in-i,
tS . , , fi II -4- 2 (o' ) OU n est un entier. Ecrivant de même que ■ -. = i , on a
(57') 2CC0'-f- 2//((7i -1- «2-1-- • --^ «/■— bi— b-i — . . .— br) = — -2 iutù.
4S ciiM'irui: II.
Kliminani c cnlrc ces deux équalions on a, en verlii de la relaiIq,! y(,)'— lor^' = — (]iie nous établirons plus loin,
,5g) rt,-4-rt,-i-. . .-+- «r— ^1 — ^2 — • • •— ^/■= '/«w -+- -i/uo';
ce qui démontre le théorème.
La valeur de la constante c esL alors donnée par Tune ou Taulre (les formules (5;) ou (57').
Mais on peut simplifier un peu la formule en mettant à profil une remarque faite plus haut. Remplaçons le point «, par le point
liomoiogue
rt'j = rt 1 — îniM — m 10'.
I^a formule donnant /(;/) prendra la forme
J^ a'{u — a\):ï(u — a2)...^{U — ar)
où l'on a
(39) rt'i H- rto-i-. . .-+- «, = ^1-+- ^o-^- • •^- ^z-
Mais alors, en exprimant que f{ii) admet les périodes 2 to et aco', on a, par un calcul analogue à celui que nous venons de faire,
2CC0 = 2N~/, 2Gw' = — 'iMTTf,
M et N désignant des entiers. On en conclut
C(Ma)-f-Nw')=o.
Le facteur Mto-t-No/ ne peut pas être nul, car le rapport^
est imaginaire et ne peut pas être égal a — ^- Donc
Un peut donc toujours mettre une fonction elliptique sous la forme
^ cf{u — bi)cf(u — b.i)...^{u — br)
(60) f(u)=A ; -7 TJ
avec la condition (09). On pourrait de même remplacer d'autres zéros et infinis par des points homologues : la formule resterait la même pourvu que la somme des zéros choisis égale celle des infinis.
GÉNÉRALITÉS SUR 1, 10 S FONCTIONS K LL I P T I Q U ES {g
iO. Notations de Jacobi. — I.;i formule de décomposition en ('acteurs s'écril comme il suit dans les notations de Jacobi. La fonction H de Jacobi est liée à la (onction 3* par la relation
— A 1,'- H(u)= ll'(o)(? ï"î"' ^-w,
d'où
Remplaçant alors in par cette expression dans la formule (6o) et tenant compte de
il vient
,^ ^ -, , .^Uu — b^)\\(u — bi)...n(u — hr) <0') /'«)='^TT r— n Tî '
\\(u — a^jW^a — ai) . . Ai( u — a,.;
A' désignant une constante. On a donc, en définitive, la même formule fondamentale dans les deux systèmes de notations.
i I . Deux fonctions elliptiques ayant les mêmes zéros et les mêmes infinis ne différent que par un facteur constant. — Cela résulte des formules précédentes où le facteur A seul est arbitraire, une fois les zéros et les infinis donnés.
iii. Ordre d'une fonction elliptique. — On appelle ordre d'une fonction elliptique le nombre de pôles qu'elle possède dans un parallélogramme élémentaire, chacun d'eux étant compté avec son degré de multiplicité. Co nombre est aussi égal au nombre des zéros situés dans un parallélogramme (n" 38) :
Ainsi pu est du second ordre, p' u du troisième.
La fonction elliptique /(^^) étant d'ordre r, la fonction f{u) — (>, où C est une constante quelconfjue, est aussi d'ordre r, car les pôles de/(u) cl f(u) — G sont évidemment les mêmes. La fonction /"(«) — Ca donc, dans un |)iralléloi;ramme, /'zéros quel que soit C. Ainsi l'équation
a toujours /• racines dans un parallélogramme. La valeur mi- A. KT F.. 4
nimum que puisse prendre ;' est 2, car d'après le théorème du n" 30 il n'exisle pas de fonction elliptique du premier ordre.
Exemple. — La fonction pu est du second ordre. Dans un parallélogramme des périodes il existe deux valeurs de u telles que puz=Q. L'une d'elles étant a, l'autre est homologue du point — a, car pu est paire. Ces deux racines sont distinctes tant que les deux points a et — a ne sont pas homologues, c'est-à-dire tant que l'on n'a pas
et C = p ( /?? co -I- /? w' ) .
Si les entiers m et n sont pairs tous deux, celte valeur de C est infinie : effectivement, l'équation pu = a: a dans chaque parallélogramme une racine double.
Si un des entiers m ou n est impair, ou si tous deux le sont, C est fini : on trouve ainsi, à cause de la périodicité de p, trois valeurs différentes de C pour lesquelles l'équation jd?^ — G = o a, dans chaque parallélogramme, une racine double. Ces valeurs sont les suivantes :
m impair, n pair, C = po).
m pair, n impair, C = pco'.
m et n impairs, C = pU') -\- to').
La racine double de J3 ^^ — G = o est, dans le premier cas, congrue à oj, dans le second à 10', dans le troisième à to + to'. Ges trois valeurs annulent la dérivée p' u : les valeurs correspondantes de G sont les trois racines du polynôme
comme nous le montrons plus loin (n° 46).
IV. — Exemples de décomposition ex facteurs et ex éléments simples. Formule d'additiox algébrique pour pu. Conséquences.
■43. Décomposer en facteurs la fonction doublement périodique f{u) = pii - pv, où c est une constante. — Dans un parallélogramme des périodes
gkm:h \i. iTKs sr« i. i:s fonctions ki.i, i i'tiq r es. 5i
pu admel o comme infini double. Donc la fonction admet deu\ zéros dans un parallcloj^ramme dos périodes; on voit que ce sont les homologues des points a ^ v et // = — v puisque p est paire.
On a donc
. a'( « -f- v) -jIh — V)
pu — j.i' = A ^— ,
\j- Il
A désignant une constante.
Celte constante se détermine en multipliant les deux membres par ;/• et en faisant ensuite tendre // vers zéro. Il vient
La décomposition est donc donnée par la formule
(62) n « — IX- = — .
ii. Formule d'addition pour lu. — Si l'on prend les dérivées logarithmiques des deux membres de l'égalité précédente, par rapport à «, il vient
(63) — ^^-^^ = r(«-i-^•)-+--(«-^')— 2!:"; pu — pv / . V
puis, en échangeant u et p,
(64) ~^ "' = Uji-^i')~Uu — v)^-iU^;
enfin, en ajoutant membre à membre les deux égalités précédentes,
(65) -^^-^^—^^^ = 1iu^v)—lu — lv, ■xpu — pv-
formule que l'on obtiendrait également en décomposant en éléments simples les fonctions elliptiques de u qui figurent dans les premiers membres. La formule (65) peut être considérée comme une formule d'addition pour la fonction 'C.u : seulement ce n'est pas une formule d'addition algébrique, car ÎT^/z-i-c) n'est pas une fonction algébrique de Zu et ^c.
45. Formvile d'addition de la fonction pu. — Si l'on difTérenlie par rapport à u les deux membres de l'égalité précédente, on
Sa <'ii \ iMTii i; 1 1.
trouve
c'est une formule d'addition algébrique pour jdw. En j remplaçant, après la dérivation, ^' u par sa valeur 6p- m — ^ (eq. 89), on obtient j3(f/ H- (') en fonction rationnelle de p//, pc, jVw et p'p. Si, ensuite, on j remplace j/// et p'(> par leurs valeurs respectives en fonction de jj // et pv
p'u ^s/^p'^U — gipU — gi, p\' = s/\p^V — ff-îp^-— !^i,
on obtient p[a + r) en fonction algébrique de j3/< et pp.
Autre forme de la formule d'addition. — On a, en effectuant
la différentiation {^Q)^
I p" u I (pu — p' v)p' u p u — p{u-^v)= " -^ î- — '-^ •
1 pu — pV 2 {pu — pv)'-
perniutant u el v on di àe même
ipu — pv ■?. ipu — pv)^
Ajoutons membre à membre et remarquons que
p"'i — J'"'' = ^(p'-i' — p-i'), d'après l'équation (Sq), il vient
qui donne p{u-+- v) par une formule où la symétrie, par rapport aux deux lettres u et (.', est en évidence.
En différentiant par rapport à u et remplaçant p" u par
6p- u — - g-2, on a de même une formule d'addition pour j)'(;/ -f-t'),
exprimant cette fonction en fonction rationnelle de pu, p'u, pç, p'ç. Une nouvelle différentiation donnera une formule d'addition pour p" ; etc.
iG. Décomposition de p'u en facteurs. — La fonction p' u a,
(i KM-; Il \ I. I TKS Sin I.KS FONCTIONS IC 1. 1, I l'T I 0 l E S. 53
dans un parallélogramme élémentaire, un pôle triple qui est le point II = o, ou un point honioloi;ue. Cette fonction est donc de troisième ordre. Elle a, dans un jiarallélo^ramme, trois zéros que nous allons déterminer. Pour cela, parlons des relations
p'{ a + 2 co -t- v.co' ) = p' u.
["'aisanl dans la première de ces formules u = — to, on a
p'((o)=jV(— co);
comme d'autre part p' est impaire,
P'(w) = -p'(— co),
Donc p'((xi)= o. De même p'(ii)')=: o.
Enfin, en faisant dans la troisième formule u = — oj — to', on voit (|iie j)'(co 4- (>)')= o. Prenons un parallélogramme élémentaire
Fii
Z0u-*-2ùi>
très voisin de celui dont les sommets sont o, ato, sw', 2104-210' et contenant o dans son intérieur. Alors, dans ce parallélogramme tracé en traits pleins, la fonction a le pôle triple o et trois zéros nécessairement simples w, to', to + 10'. La somme des zéros 2 w + 2 to' ne didère de la somme des infinis cpii est o que par des multiples de périodes.
Remplaçons le zéro (o 4- to' par son homologue — to — to'; alors la somme des trois zéros to, (o', — co — co' est égale à la somme des trois infinis qui est nulle et l'on a
^( it — m) -yi n — (o' ) 3" ( M -I- M -+■ oi' )
Pour déterminer A, on peut multiplier les deux membres par // '
5j cil A PI tri: 1 1.
puis faire Icndrc // vers o. Comme dans le voisinage de o on a
p' » = — — -H fonction icfrulièic,
le premier membre devient —2; comme ^7- tend vers 1, le second membre devient
A ^oi jw' ^(u) -I- Lu') el l'on a
jf II — lo) :s'(u — w') cf ( Il -h oi -\- oi')
jCO jIo' 3'( CO -1- O)') j^«
Voici quelques conséquences des résultats précédents. Nous avons établi la relation
Appelons e,, e-2, en les racines du polj-nome ^z^ — g-iZ — gs, alors
Comme p' n s'annule pour ?/ = co, a = i<) -f- to' , u = o)\ les quantités ei , e^, <?:, sont égales à jjto, j3((o 4- oj'), poo',
(69) e, = pto, <?,= ,P^ w + W), e3=pw'.
Il est évident, d'après la formule (68) qui donne p'-M, que le second membre de cette formule est le carré d'une fonction uniforme : nous vérifions plus loin (n° 18) que chacune des différences pM — C), pu — 0-2, pu — C3 est le carré d'une fonction uniforme.
47. Effet de l'addition d'une demi-période à l'argument de pu. — Dans la formule d'addition (67) faisons c = (o, en remarquant que pw = C) , p'oj = o et en tenant compte de l'expression (68) de p'-. Nous obtenons
p(u-hoi)—ei= '- '-'
pu — ei
De même, en faisant dans la formule d'addition v = lo + to' ou
GÉNKnAMTK? SIR MIS FONCTIONS K L 1. 1 PT I Q L ES. 55
r = (o', on Irouve
pi u -i- oj — m') — e-î =
JJ U — Ci
iS. Expressions de pu — ci. Fonctions :fi, ='>, ^^'s- — Dans la lorniiile (<>'^) établie plus haut
faisons i' = (o, nous aurons
mais, d'aprt s les propriétés de la fonction j, on a
j ( « H- to ) = — e"-'"." a{U — w ),
c omme on le voit en changeant dans la première des formules (22) a en a — w. On a donc
( 70 ) p » - p co = e2 0" -— .
On trouve de même
(70) p « — p oj = e-^f. « — ^., , •
Enfin, dans la relation (62) faisons c = to -f- oj'; il vient
p<<— p(wH-UJ )= ^., ^.,, ; -,
'i-U 7^-(cj -i- a» ;
OU d'après la formule (23), dans laquelle on change u en a — to — oj',
F.es trois différences considérées sont donc bien les carrés de fonctions uniformes. M. Weierstrass emploie une notation
56 CIIVPITUK II.
spéciale pour designer ces trois fonctions. 11 fait
ef>" 3'(co — II) 3-, « = -
e'<'i'" jTw'— //)
Avec ces nolalions, on a
73) pu-e,= (^^Y, pu-e,= {t^)\ ,P"-^.= (^)'' P - " = -I i^T J
le signe à prendre en extrayant la racine est — , comme on le voit en multipliant les deux membres par il^ et faisant tendre ii vers zéro. On retrouve ainsi, aux notations près, la formule établie directement dans le numéro précédent pour la décomposition de p'« en facteurs.
iO. Toute fonction elliptique /( fO aux périodes ^w et sw' est une fonction rationnelle de p« et -p' u. — Nous établirons ce théorème comme une conséquence du théorème d'addition et de la formule de décomposition en éléments simples
/(«) = Do-T-^h^^^" — «)-^-^>P(" — a) — y-^p'(«< — a)— ...
la somme étant étendue à tous les pôles. Tout d'abord la formule d'addition pour ^u (n" 43) montre que j3(w — c/) est une fonction rationnelle de pu et jd'«. En différentiant cette formule on voit que p\u — (i) est une fonction rationnelle de jdw, p' u et p"//; mais, comme
c , Si
G K NKn M. ITKS Sin LES FONCTIONS i: I. r. 1 l'T I Q t ES. 5~
p'{it — a) est une fonclion rationnelle de pu et p' u. On voit de même, en diflL-renlianl de proche en proclie, que p"{u — (i), . . ., p(a-2)^,^ — a) sont des fonctions rationnelles de pu et p' u. Restent les termes tels que ^(// — a). La formule d'addition pour la fonclion V (n" ii) dans laquelle on remplace c par — a donne
■>. pu — pa
on a de même 'Ç{u — 0), . . . , "ÇÇu — l ). Si l'on porte ces valeurs dans la formule de décomposition en éléments simples, on voit que, dans la somme
(75) XU u — «) -H B ^( // — A ) H-. . .+ L ^( // — / ).
étendue à tous les pôles, le terme en ti/ disparaît à cause de la relation A + B + . . . + L = o et la somme (7^) est une fonction rationnelle de pu et p' u.
Le théorème est donc démontré.
Remarque. — (^omme on a
p'- " = 4 P^ " — ff-2 P " — .4':i>
on peut, dans une expression rationnelle en p et p', éliminer toutes les puissances de p' supérieures à la première en remplaçant toutes les puissances paires de p' par des polynômes en p. On met ainsi toute fonction rationnelle de p et p' sous la forme
r'i(,p)H-p'Qi'j'''
où p, Q, P,, Qi sont des polynômes entiers en p.
Multipliant et divisant cette expression par Pi (,p) — p'Qtip) et remplaçant p'- par sa valeur en fonction de p, on voit que toute fonction rationnelle de p et p', c'esl-à-dire toute fonction elliptique peut se mettre sous la forme
Il et K, étant des fonctions rationnelles. Il en résulte
/(-«) = R(p)-j)'R,(j)), car p' est impair.
58 c M .\ p 1 T n li H .
En parliciilicr, si f{ii) est une fonclion paire, /( — u) doit être égal à/{u) et R| (p) identiquement nul. Alors
Si /(u) est impaire, /( — u) doit être égal à — /('O ^' ^(p) identiquement nul. Alors
Ainsi une fonction elliptique paire est une fonction rationnelle de pu; et une fonction elliptique impaire est égale à une fonction rationnelle de pu multipliée par p' u.
Par exemple, p{2u), p(Su), ..., j3(/i«) (n entier) s'expriment rationnellement en fonction de pu. On a ainsi des formules analogues à celles de la multiplication des arcs en Trigonométrie, que le lecteur établira sans peine par l'application répétée de la formule d'addition.
De même p' (nu) est égal à p' u multiplié par une fonction rationnelle de pu.
30. Remarque sur l'intégration d'une fonction elliptique supposée mise sous la forme d'une fonction rationnelle de p et p'. — Soit la fonction
/(«) = R(pM)-hp'«Rirp«),
où, comme précédemment, R et R, désignent des fonctions rationnelles de pu. On aura
I f(u) du = / R{pu)du -^ I p'u Ri(pa)c?«.
La deuxième intégrale du second membre se ramène immédiatement à l'intégrale d'une fonction rationnelle, car si l'on fait pu = z elle devient
^Ri( z)dz:
on sait calculer cette intégrale. Pour obtenir la première intégrale du second membre, on commencera par décomposer la fonclion rationnelle R de pu en fractions simples, en considérant pu
GK.NKIIA I.ITKS S t U I. IC S FONCTIONS IC I. L I l>T I Q l KS. 'if)
comme la variable
[{(pu) = Co-h c\pu -r- r-.p'' it -{-. . .-+- c^^p'^u
A A, Aï B
pu — et (pu — 7.)i ' (j)« — a)a ■ "■ pu — <^
r^, r,, . . ., Tv, A, A,, \o, . . . , B. . . . , a, ^j, . . . ('lai)t des conslanles. L'intégrale de la partie enlière en pu s'obtient aisémenl, car on sait (n° 31) exprimer jV- //, p'U/, . . ., p^^ u en fonctions linéaires à coefficients constants de pu et de ses dérivées p'u, p" u, . . . , de sorte que cette partie entière s'écrit
Cu -f- C, j) u -+- Cip' a -+- C.ip" u -H. . . ;
son intégrale est immédiatement
C„n — Ci^u -h Cipu-\- C^ip' u -i-. . ,.
Les intégrales des termes suivants s'obtiennent aussi en décomposant ces termes en éléments simples. Pour cela on détermine d'abord des constantes r/, b, . . . telles que
pa = a, pfj = '^, Nous avons donné (n° 44, formule 64) la décomposition en éléments simi)les de — ; nous écrirons cette formule
(76) ! = -^[Ziu — v) — iiu-hv)-h2i:^v].
On en conclut, en eliangeant r en a,
r du I r, ^{u — a) „ "1
. / pu — pa Ji « L ^(u -\- a) J
DifTérentiant ensuite la formule (76) par rapport à v et divisant par p'p, on en tire la formule de décomposition en éléments
simples pour -; dilTérentiant cette nouvelle formule par
rapport à v on en lire de même la décomposition en éléments
simples de -, r> • • • et ainsi de suite. Dans ces formules on
fera i' := « et l'on en déduira immédiatement les intégrales
/du r du
(pu — pa)^'J {pu — pu/'
6o IMIAIMTKK n.
ol. Entre deux fonctions elliptiques fin) et fi{ii) aux mêmes périodes existe une relation algébrique. — En eflel, si l'on l'ail
\=f(u), \ =Mu),
X el Y sont, d'après le théorème du n" 49, des fondions rationnelles
(77) X = R(,p.p'), Y=R,(p,p'), des quanlilés pu cl p' u liées par la relation
(78) r''«= \p^H — g.pu—g:,.
L'élimination de p el p' entre les relations {']']) et (78) donne évidemment une relation algébrique entre X et Y
La courbe (C) définie par cette équation est, en général, du premier genre. C'est ainsi que si l'on fait
on a entre x el y la relation
définissant une cubique (c) sans point double, sauf dans le cas de dégénérescence. Les coordonnées X et Y d'un point de la courbe (C) sont des fonctions rationnelles des coordonnées x el j>' d'un point de la cubique (c).
On peut, en général, indiquer le degré de la relation entre X el Y. Si f{u) est d'ordre /• el f\{u) d'ordre /',, la relation F(X, Y) = o est de degré /•, en X et de degré /' en Y.
En effet, X étant donné, la formule
donne, pour u, r valeurs dans un [)arallélogramme ; à chacune de ces /■ valeurs, la formule
UKNIÎR M.ITKS StR LICS FONCTIONS K LL I I»T I Q f KS. ()l
fait correspontlie une seule valeur de Y. J)onc à une valeur de X correspondcnl /• valeurs de Y cl l'cqualion F(X, \ ) := o est de dt>gré /■ en Y. On voit de même qu'elle est de degré /', en X.
Par exemple pu est du second ordre, p' a du troisième ; aussi la relation algébrique entre ces deux fonctions est du second degré en p' et du troisième en p.
o!2. Toute fonction elliptique /(//) admet un théorème d'addition algébrique. — J'^u eflcl /{u) est une lonclion rationnelle àepu et p' a
fia) = l\(pu, p'ii).
De même
Av)=R(pi; pi>).
Formant ensuite ./('/H-c) qui est une fonction rationnelle de p{ii-\- v) et p'{if -f^ t')' ^^ exprimant p(" + ^0 ^^ P'(" + ^) ^" fonction de pu, pv, p' u, p' v par les formules d'addition, on voit que/(;^H-(') est une fonction rationnelle de pu, pv, p' u, p'r
D'aillcur
f(u -h v) = \\i(pu. })i\ })' II. ,p'r). p'-u = ip'Ut — ^ç.pu — A' 3,
p'w = 4pn' — ,^2,pi^ — i'3.
L'élimination de pu, pc, p' u, p' v entre les cinq équations précédentes fournira une relation aLgébrique entre f(u + t'), f{u) elf{v).
La récipro(|uc de ce théorème est vraie en ce sens que : Toute fonction analytique uniforme transcendante qui a un théorème d'addition algébrique est nécessairement une fonction simplement ou doublement périodique. Nous nous bornons à énoncer cette proposition, dont la démonstration nous entraînerait en dehors du cadre de cet Ouvrage.
