ni

puissances de c '^ , on a

D'après cette relation unique entre les coefficients, on voit que l'on peut prendre arhitrairement Aq, A,, . . ., A„j, et déterminer ensuite tous les coefficients.

Ainsi en faisant successivement « = o, n = m, n = 2m, • . . , n =(v — i)ni, on a

d'où, en multipliant,

(i5) Av,„= Ao^^^''-"'";

en faisant de même, dans (i4)» ^= — '''? '* = — 2/;?, ..., n = — [xm et multipliant, on vérifiera que la formule (i5) subsiste pour V négatif. Tous les coefficients Av/« sont ainsi exprimés à l'aide de Aq. Par un calcul semblable on exprime tous les coefficients Av^+i en fonction de A,, \^m+2 en fonction de Ao, ,..,

358 CII.VPITRK XII.

Av„,^,„i en fonction de A„,,. On trouve

Av,„+,„-, - A,„, g,v(v-l)/«+2(,n-l)v.

En portant ces valeurs dans le développement de la fonction entière ^(u), on trouve qu'il prend la forme suivante

où Eo, E|, ... désignent les fonctions entières suivantes

rV(V— 1)/«^ O)

rVV — 1)/M+2V ^ tO

Ep(M)=e w > ^v'v-i)m+2pve 10 ^

Ainsi, comme nous lavons dit, la fonction entière la plus géné-

raie admettant les multiplicateurs i et <? " est une fonction linéaire et homogène de m fonctions spéciales Eq, E|, ..., E„,,. L'expression de cette fonction contient m constantes arbitraires Ao, A,, ..., A.jn-\ dont on peut déterminer les rapports de façon que la fonction ^(u) admette /n — ^i zéros ,3), jjo, ..., ^m-t donnés à l'avance. Ces fonctions Ep s'expriment toutes à l'aide de la première : on a évidemment

Ep(a)=e"^^Eo

2pw'\ ni I

D'ailleurs la fonction Eo s'exprime aisément par une fonction de Jacobi. En effet, reprenons la fonction E(f<) construite plus

FONCTIONS A MULTIPLICATEURS EXPONENTIELS. 359

haut (n° 217) avec les périodes 'ito cl ato'

E(«|w, io')= 2 7

où nous niellons en évidence les périodes ajanl servi à construire

■Ktiti

la fonclion H,. Si dans celle formule on change co en — ? r/ = e *"

se change en q'"^ et la série du second membre devient précisément Eq(«). On a donc

(1 V IIITZlli I