Cas de N négatif. — Supposons maintenant N négatif, et

posons

où m est un entier positif. Les fonctions à étudier sont alors telles

que

F ( if -f- 2 u) ) = F ( « ) ,

in 71 '"'

F(«-f-2co')= e '^ F{ii)-

On conclut immédiatement de ces relations I I

m 11 ni

F{U -h 2.(ii' )

L'inverse ^^ de la fonction à étudier est donc une fonction

aux multiplicateurs i et e " (m positif), c'est-à-dire une des

onctions du numéro i^récédent. L'inverse =r7 — : peut donc s écrire ^ F(a) '

36o CHAPITRE XII.

avec la condition

?!-*- Pa-ï-- ••-+- ?r+m — ^i— a, — . . .— x,.= m Cl). La fonction F(«) a donc pour expression générale

Y(a)^Cc-'^ H(»-ai)...H(»-«,) ^ ^ ^ "^ H(«-[i,)...H(u-i3,+,„)

Elle a, dans un parallélogramme des périodes, m pôles de plus que de zéros, et la différence entre la somme de ces pôles et de ces zéros est congrue à mw.

Il ne peut donc pas exister de fonctions aux multiplicateurs i

7/1 iz ni

et e "^ , n'ajant pas de pôles. Mais il en existe qui n'ont pas de zéros; ce sont les inverses -;- — des fonctions sans pôles du numéro précédent.