ONCTIONS A MLLTII'I.IC \T1:LUS EXPONENTIELS

D'après cela le (juollenl

oil une fonction olliptiqiic. On a en cfl'et

*(« -f- 2W)= «I>( t/ ), <Ij( /f -^ •?. w') — *(k).

I^ellc fonction elliptique <I> a, dans un parallélogramme des péliodes, autant de zéros que de pôles; on peut l'écrire (n" 40)

(Q) *(;/,)= A 7^ !-Ht --^ ~ 'J-,

\\i u -- ai)i\(ii — tti). . .n( u — Ur)

SOUS la conditKjii

< lo ) ay->r- a-i-^. ..^^ a,.— hi-^ b-i^ . . .-^ b,..

De cette première expression de la fonction F(;/) sous la forme

FU)= E^'(fO*(«)i

on conclut immédiatement les résultats suivants. Xous distinguerons deux cas : i" l'entier N est positif; %'* l'entier N est négatif.

219. Cas de X positif. — Si nous posons N = m, m positif, le facteur £"'(«) est une fonction ne devenant pas infinie et admettant comme zéros d'ordre m le point oi et les points homologues. On a alors, en i'em[)laçant E(«) par son expression (6),

<ii) F(^fj^Be^w — i — L ^ ^ !j .

H ( M — ai j H ( u — n,).. .)A{u — a,. )

il peut sefiire, dans cette expression, que certains des points <-/,, /■/o, . . . coïncident avec (o ou soient homologues de w : il y aurait alors des réductions évidentes. Mais, dans tous les cas, en comptant chaque zéro et charpie pôle avec son degré de multiplicité, on a le théorème suivant :

.Sf N est égala un entier positif /;?, la fonction F(«) a, dans un parallélogramme des périodes, m zéros de plus nue de pôles. La somme de ces zéros, diminuée de la somme de ces infinis, est congrue à m m. La première partie de ce théorème est évidente d'après la formule (ii); quant à la deuxième, la

somme des zéros, diminuée de la somme des infinis, est congrue à 7«a) -4- 6i-<- 62-f-. . .-+- b,. — «i — «2 — . . .— «,.,

c'est-à-dire à ihm d'après la relation (10).

Réciproquement, soient a,, a^,, ..., a^; j^i, jjo, ..., ^r+m des constantes vérifiant la relation

Pi-t-p2-^----i- ?,•+,«— ai — a, — ...— a^= mw,

la fonction

^ -^ \{{u — ai)...H(« — Kr)

est une fonction vérifiant les relations

m Tt ui

F(« + 2w)=F(i<), F(«-i-2w')=e ^F(a), comme il résulte des propriétés de la fonction H.

m "K ni

Fonctions entières admettant les multiplicateurs i et e ^ . — Quand N est égal à un entier positif m, nous venons de voir que la fonction F a m zéros de plus que de pôles : il peut se faire qu'elle n'ait pas de pôles du tout : alors c'est une fonction entière ^{u) ayant dans un parallélogramme m zéros

Hl) P2) • • • > P'« J

ces fonctions particulières ont pour expressions

e{u)=Be 2« H(K-pi)H(M-?2)...H(«- i3,„),

avec la condition

pi+ Pa-f-. . .-h P,„ = mw.

On voit que la fonction entière la plus générale, vérifiant les deux relations

(il) I m 71 ni

dépend de m constantes arbitraires B, [j,, [îo? • ■-, ^««-i : elle est déterminée, à un facteur constant près B, quand on connaît (m — i) de ces zéros. Nous allons montrer que la fonction entière la plus

FONCTIONS A MULTIPLICATEURS EXPONENTIELS. SSy

générale vérifiant les relations (12) peut s'exprimer en fonction linéaire et homogène de m fonctions spéciales vérifiant les mêmes relations. Pour cela, remarquons que toute fonction entière admettant la période vtt^i peut être représentée par une série de la forme

n = + au .

^^ n Ti ut

dont chaque terme admet la période 110. En désignant toujours par q la quantité e "^ , on a

n TT ni

(Ê(«-r- 2aj')= y Art'/î^e"^^,

rmziii In — m)'iziii

D'après la seconde des relations (12) ces deux séries doivent être identiques. En égalant dans ces séries les coefficients des mêmes