TU TT

— cet — (x — y).

Cette fonction vérifie les deux relations suivantes, qui s'établissent aisément :

[ Xm(^> y -^ 2aj) = '/m(^, y),

(19) { "' lï.v/

( Zm(a^, JK-4-2w'):= e w y,„(x,y).

Cette fonction y,„ de la variable j^ admet donc les multiplicateurs

1 et e ^ : elle a dans un parallélogramme (m + 1) zéros et un pôle homologue de x.

Si l'on considère, au contraire, y comme une constante et x comme variable, il se présente des circonstances entièrement difi'érentes. La fonction '/m(^,y) est alors une fonction uniforme de X n'ajant à distance finie d'autres points singuliers que des pôles du premier ordre, à savoir les points

X = y -7- 2 n 0) -h "2 n' ui' ;

le résidu de cette fonction relatif au pôle x=y est égal à + i. Elle vérifie d'abord la relation évidente

puis l'équation

yy«(a7 -^ 20), y) = x«(^, y),

y,n{x-r-2iù',y)= e " y,n{oo,y)

m -K oci \

<^ E,(JK)-...

( ;h — p ) U xi

^ Ep(j)-..

OÙ les m fonctions Eo, E,, . . ., E,„, sont celles qui ont été définies plus haut (n° 219).

Pour dénionlrer cette relation fondamentale (ai), remarquons (jue la série (i8) nous donne

to i qiin—l)

ou, en clianjjcant n en // -f- i ,

mn TiYi

7t(.f— J)< g W (72(rt— 1)

min + l) TZyi

Si nous formons alors la différence

nous obtenons une série qui peut s'écrire

lia A^

n = — oo

en posant, pour un moment,

(o pmnKn—\] l ' 1 ,

t — Il

(23) e w = /, cf-'i=ii

En effectuant la division, on a

( t'ii j 2 /"î-l Zi -I- 2 t'"--- U2 4- . . . -i- 2 <a'"-' -i- «'« ),

et en substituant dans la série (22) on voit que cette série se partage en (m -+- i) séries.

La première de ces séries est

m{ n-trW TZyi Q to ffmni.n—1) (in

c'est-à-dire, d'après la valeur de t,

. n=:+ 00 • m-iixi

mmzyi Q (o Qinn^n—l)

FONCTIOX?^ A MLLTrPMCATEtrnS EXPONENTIELS. 3G'i

OU enfin

• m T. xi

La deuxième de ces séries est de même

,^ min'-IITTvj

\ g uj qmn[n—\)im—\ii

c'est-à-dire

— 1 1 ~ >7 'ïZyi ^ mrfïzyi

(jj g (i> X g to qmn.[n—\)

ou enfin

Ainsi de suite. La (p -f- i)''^'"^ de ces séries est

{m—p)njci pizyi mn u.vj

TZl

. ( 77J — p ) TT rj

--e - Ep(j).

La dernière ou (m -7- i)"^^""^ de ces séries est

ni t: Yt m n nyi

TT t — — ^ — ^^^ -—

! e *^ T 6 '*' Qmnin—D-hinm

■2lù ^ ^ '

c'est-à-dire

• m(n -t-I ITT W

OU enfin

-^Eo(r),

comme on le voit en changeant, dans la dernière \ , n en n — 1 . Ce calcul démontre la formule (21).

On a ainsi les propriétés fondamentales de l'élément simple

y,„(jr, y).

222. Décomposition en éléments simples dans le cas où X est négatif, X =— m. — Soit F(z^) une fonction aux multiplicateurs i

et e "^ , m étant positif. Une telle fonction possède au moins m

pôles dans un parallélogramme des périodes. Supposons qu'elle ait /• pôles simples (r^m) homologues des points

et que les résidus aux points a, b, . . . , / soient

Ces pôles et les résidus correspondants sont liés par m relations qu'il est aisé de former.

Relations entre les pôles et les résidus. — Considérons une des m fonctions entières Ep(i^) du n° 219 qui admettent les mul-

m TT ni

tiplicateurs i et e P . Le produit

«ï.(M)=F(a)Ep(«)

est une fonction elliptique aux périodes 2to et 210'. En effet, les deux facteurs admettent séparément la période aco et, quand u

m ir //(

croît de 2 (o', le premier facteur est multiplié par e '^ , le deuxième

mTZiti

par e " et le produit ne change pas. Cette fonction elliptique a les mêmes pôles que F(?^), car le facteur Ep(M) n'a pas de pôles. Le résidu de ^(u) au pôle u = a est AEp(a), car on a, au voisinage de u = «,

F(u)= h fonction reErulière,

Ep(M)= Ep(a)-i-(M — a) Ep(a)-f-. . .,

d'où, en multipliant,

AEp(CT)

«ï>(m)= ï^ 1- fonction régulière.

Les résidus de ^(n) relatifs aux autres pôles sont de même BEp(6), . . ., LEp(/). La somme des résidus d'une fonction elliptique étant nulle, on a la relation

^■24) AEp(a)-t-BEp(6) + ...^LEp(0 = o.

En attribuant à l'indice p les m valeurs o, i, 2, ..., m — i