FONCTIONS A M L' LT II' LI CA T E V RS EXPONENTIELS

(n" 219), on obtient ainsi ni relations nécessaires entre les pôles et les résidus de F(m).

Décomposition en éléments simples. — Considéroas la différence

(25) W{u)=¥{u)— \ ■/,„ ( «, rt) — B 7 ,„ ( M, ^») — . . . — L -/,„ ( w, /);

nous allons montrer que cette différence ^' est idenliquenienl nulle. Tout dabord la fonction ^V{u) ainsi construite admet les

multiplicateurs i et e *^ : on a évidemment

car chaque terme du second membre admet la période 210; voyons ce que devient le second membre quand u croît de 210' : on a d'abord

m 7C ni

F(i<-f- 210')— e '^ F(m)=o, puis

m iï ui

. / m7Ziii\ . I m — 1 1 77 ui . 77 ui

. I 77! — WTZIii . 7Î Mt

i-e ^ )Eo(b)- — e ^ E,(b)-...~-e'^ E^.,(b).

comme il résulte de la relation fondamentale (21) dans laquelle on remplace x par u et y par a, ou b, . . ., ou /. D'après cela la différence

»i 7t ni

W(u) — e «- ^\u) peut s'écrire

(nfrZiiiS.

i^e~^)[XEo{a)-^BEo(b)~...^LEo(l)],

• im — DTZtti

-—e w [AEi(a)-^BE,(6) + ...— LE,(/)], — e"^[A E,„,( a)-^- B E„,,(6)-r-. . .^ L £,„,( /;];

C II A P I T n E XII.

celle difTérence est donc nulle, puisque chacune des sommes entre crochets est nulle en vertu des relations (24) entre les ]DÔles et les résidus. Ainsi la fonction M'(//) vérifie les deux relations

in TT '//

De plus cette fonction M* est finie en tous les points à distance finie; elle n'a plus de pôles. Par exemple, dans le voisinage de // = rt, on a

fonction régulière, fonction régulière,

elles autres fonctions '/m{i{, l>), • ■ • -, '/ ni{ii 1 l) sont régulières au

point a : dans la combinaison donnant W[u), disparaît,

et ^r(^^) 6st régulière au point a. Elle l'est également aux points />, ..., / et aux points homologues. En résumé, W(m) est une fonction sans pôles vérifiant les relations (26). Mais nous avons vu qu'il n'existe pas de fonctions sans piMes vérifiant ces relations (n° 220) : donc ^'{u) est identiquement nulle et l'on a la formule

F ( iO = A y,n {u,a)+Vj y,,, (u,b)-

Ly,n(.u, /),

qui est la formule de décomposition cherchée, mettant en évidence les pôles de F( w), a, h, .... /et les résidus A, B, . . . , L.

Réciproquement, si a, b, .... / sont des points arbitraires, non homologues deux à deux, et A, B, . . ., L des constantes vérifiant les relations (24), l'expression (27) définit une fonction aux

multiplicateurs i et e "' admettant comme pôles simples les points a, b, ..., l avec les résidus A, B, .... L, et leurs homologues.

Remarque. — On obtiendrait cette même formule de décomposition en considérant le produit

comme une fonction de v. Ce produit !!((') est une fonction ellip-

l- ONCTION s A M L I.TIIM. ICATKLRS E X l'ON KN T I IC LS. i()7

liqiic aux périodes ato cl :iu)', car les fonctions de v, F(t') cl '/m{fii *') onL des nnilli|)li(Mleiiis inverses; celle fonction \\{v) adniel comme pôles les |)oiMls homologues de

avec les résidus rcspcclifs

l'expression du dernier de ces résidus résulte de ce que '/m{ii^ v)regardé comme fonction de c, admet le pôle simple r = a avec le résidu — i (n" 221). En écrivant que la somme des résidus de la fonction elli|)lique, relatifs aux pôles non liomoloirues, est nidle, on a immédiatement la formule de décomposition (27).

Cas des pôles inuUiples. — Nous avons écrit la formule de décomposition et les relations entre les pôles et les résidus dans le cas des pôles simples. Si les pôles sont multiples ces formules ce généralisent, comme celles que nous avons données (n'*' 26 et 207) pour les fonctions elliptiques et les fonctions à mulliplica- Icurs constants. Bornons-nous à écrire ces formules. Supposons

que la fonction F(?^) aux multiplicateurs i et e '^ admette les pôles rt, 6, . . ., / avec les parties principales

Il — a (a — a)- B B,

Aa-1

on aura la formule

d y,„ ( u,a) A .2 d^ y,,, ( u. a) da 1 . 2 da"^

Ag-i d^J--^ y,n{u, a)'

' i.'2...(a — I) c^aot-1 J'

la somme étant étendue à tous les pôles. En outre, les relations

entre les pôles et les coefficients des parties principales sont

2[AEp(«)4-A. -^^^ -4- ^ —^ -I-...

i.2...(a — I) </««-! J "' OÙ Ton fait successivement p = o, i , 2, . . ., {m — i ). 223. Exemple. — Soit

Cette fonction vérifie les relations

o{x -r- aw) = 9(37),

2 Tt / / . M \ ( X-l- W' )

Si donc on fait, pour un moment,

ojtt — co'-t- ^j = F(tt),

cette fonction F vérifie les deux équations

2 ît ni

F(ii-!-2Ct)) = F(m), F(w-i-2to')= e~^F(«).

Pour cette fonction F le nombre entier désigné par m est donc 2. La fonction 0(^0:) admet dans un parallélogramme des périodes

les deux pôles simples o et to avec les résidus respectifs .,., , .. , — '■ ^ ^ H'(o)Hi(o)

et — ,,,, „ , Comme u est égal à a: -f- to' , la fonction

F{ii) admet les deux pôles

a = oi }

avec les mêmes résidus

H'(o)H,(o)' H'(o)Hi(o)

FONCTIONS A -M l LT II' L I C A T E L' KS EXPONENTIELS. 869

Oïl a donc la fornuilc de décomposilion

F(m)= a y^idi, (i)-r- 13 '/i(u, b),

d'où, en revenant à la variable x et remplaçant A, B, a, h par leurs valeurs

H'(o)H,(o) / , co , (o\ /

— — = Vt a? -4- oj — — > oj — y, ( ,