Formule de décomposition dans le cas de N positif. N

mTZiii

— Soit F(;^) une fonction aux multiplicateurs i et e " . Supposons que cette fonction admette les pôles simples «, h, ..., l non deux à deux homologues, avec les résidus A, B, . . ., L. L'expression

>r(iO= F(iO+ A ym{a, u)-i- B yjn{b, u)-^...— !^ -/,„(/, u)

est une fonction aux mêmes multiplicateurs, mais n\iyaiit plus A. ET L. 24

3^0 CHAPITHE XII.

de pôles. En effet, chacune des fondions F(î/), ym(o. ii), ...,

'/in{l' n^ admet les multiplicateurs i et <? ^ (n° 221 ). En outre, dans le voisinage de u = a jiar exemple, on a

Y(u)= -!- fonction réffulière,

y n,(o, it) = — ■ i- fonction rée^ulière,

'- u — it

et les autres fonctions '/m{i>, if), •••, '/m{i, ff) sont régulières.

Dans la combinaison donnant W, disparaît. Le même fait se

produit en tous les pôles de ¥(u). La fonction ^I'(?/), admettant

m T- III

les multiplicateurs i et e "et étant partout linie, est une des fonctions entières (S (//) étudiées au n** 219. Elle est donc de la forme

XoEo(«0^ ^'1 Ei(«)H-. . .— >v«-i E„,i(«<),

où Àoj ^Mî •••; ^v«i sont des constantes déterminées. On a alors la formule

i F(a) = — A ■/,„(«, fO— B 7,„(^, «) — ...— L-/,„(/, «)

( -+- Xo Eo(m)— -"m Ei(M)-h. . .^ X/„i E,„i(«).

On pourra déterminer les coefficients Ao, À), ••., A„,, en attribuant m valeurs numériques à la variable u. Pour une étude plus détaillée de ce point, nous renverrons aux Mémoires de M. Appell.

Dans le cas des pôles multiples, cliaque terme de cette formule doit être remplacé par une somme telle que

Ag-i d^-i ym(a, u)