I. — GÉNÉRALITÉS

226. Périodes équivalentes. — Soient aco et aco' une paire de périodes primitives d'une fonction elliptique. Posons

( w'i = ato'-t- bto, ( coi = CLo -r- au>,

a, 6, c, d désignant quatre nombres entiers positifs, négatifs on

nuls, tels que

ad — 6c = liri .

En résolvant alors les équations (i) par rapport à co et ca', on trouve pour w et oV des fonctions linéaires et homogènes à coefficients entiers de co, et w', : par exemple, si ad — ^c ^ i, on a

l lo' = </co', — 6coi, (2)

( w = — cto,-T-aa),.

On dit que 2 w et 210' d'une part, 210, et 210', d'autre part sont des systèmes de périodes équivalentes. Une fonction admettant les périodes aw et 2(0' admet également les périodes 2to, et 2to', et réciproquement. En effet, si une fonction F(?/) admet les périodes 2(0 et 2to', on a

F(M-f-2aw'-i-26co)= F(a),

donc

F(?<-i-2co'i)= F(«),

F(tt-+-20Ji) = F(«)

et la fonction admet les périodes 210, et 2to'^. La réciproque se démontre de la même façon en partant des relations telles que (2).