III. — Fonction modllmre. Groupe modulaire

231. Propriété fondamentale de la fonction J(-:). — Comme les invariants g.2 et g^ ne changent pas quand on remplace 2(0 et 2 w' par deux périodes équivalentes quelconques

a>', = aw'-:- 60J,

co] = coj' -4- dui^ ad — 6c = rr i ,

il en est de même de J. Or, (juand on fait cette substitution, le

rapport

devient

oij c- ->- d On a donc

J(-i) = J(-), ou encore

'178 ClIAPITnK XIII.

/7, />, c, d désignant quatre entiers quelconques tels que

ad — bc =:rh i.

La fonction J(':) présente donc cette propriété remarquable

c-z -h rf'

i\c ne pas changer de valeur, quand on remplace t par " ' ~^ ,) «,

6, c, 0? étant des entiers assujettis à la seule condition

«f^ — 6c =rh I.

C'est la plus simple des fonctions modulaires. Elle nous offre le type d'un nouveau genre de fonctions, comprenant les fonctions modulaires, dont le premier exemple a été donné par iM. Hermite, à propos de ses recherches sur la résolution de l'équation du cinquième degré, et dont les propriétés générales ont été principalement étudiées par M. Klein (Voyez ] orlesungen iibcr die Théorie der elliptischen Modulfiinctionen, ausgearbeitet von D' Robert Fricke, Leipzig, Teubner; 1890). Ces fonctions sont d'ailleurs un cas très particulier des fonctions fuchsiennes et kleinéennes dont la théorie a été créée par M. Poincaré {Acta Mathematica^ t. I).

232. La fonction J est paire. — Dans la relation fondamentale (4), on peut prendre par exemple «^i, d= — i, b =^ o, c = o. On a alors

Cela résulte d'ailleurs évidemment de ce que les invariant g2 et g.^ ne changent pas, quand on change l'une des périodes w ou iù'^ de signe.

D'après cette propriété, on peut toujours supposer que les quatre entiers vérifient la relation

car on a

ad — bc = ~ i,

'ax-^6\ j/-a.-6

on peut donc toujours changer à volonté le signe des entiers a et 6 et par conséquent celui de ad — bc. Dans tout ce qui suit nous

PK RIO ni: s ÉQl I VALKNTES. 879

nous limiterons en conséquence au cas de

ad — ^c = -^ I.

Nous supposerons la partie imaginaire de -: positU'e : celle de

est alors également positive (a° 227).