Remarques sur les substitutions linéaires. — • Soit

Cl -r- cl

on dit que l'on obtient t, en faisant sur t la substitution linéaire

az -^ b

(5) -,:=St=-^— -.

Substitution iiuerse. — En résolvant par rapport à t la relation (5), on a une autre substitution

CTi — a

que l'on n])\ie\\e substitut ion inverse àe S et que l'on désigne pour celle raison par S"'. On a alors

Produit de deux ou plusieurs substitutions. — Soit S' une autre substitution formée avec d'autres coefficients «', b' , c', d' .

l'osons

a -zi — b'

^2 — O Tj —

c'-zi -+- d'

Cl cherchons la relation entre t^ et t; nous aurons, en remplaçant T, par sa valeur St,

a'(az -i- b)-i- b'(cz -h d)

c'ia-z ^ b)^ d'{c--}- d)

Vt — B Celle nouvelle substitution linéaire To = ^rr^Tn' ^^^^ ^*^^ coeffi-

cients sont

A = aa'-f- cb'y C = ac' -h cd'.

B = ba'-^-db\ D = 6c' -4- dd',

s'appelle le produit de S par S'; on la désigne par S'S. On a identiquement

\D — BC = {a' d' — b' c'){ad — bc).

La substitution SS' est de même le produit de S' par S : on l'obtient en faisant d'abord la substitution S', puis sur le résultat la substitution S. Cette substitution SS' est, en général, diflerente de la substitution S'S. Dans celte notation symbolique des substitutions, il n'est donc pas permis d'intervertir l'ordre des facteurs. On peut maintenant imaginer trois substitutions consécutives S, S', S" : la substitution linéaire obtenue en faisant d'abord la substitution S, sur le résultat la substitution S', sur le nouveau résultat la substitution S", est désignée par

S"S'S, et ainsi de suite.

Quand deux ou plusieurs substitutions consécutives sont les

mêmes, au lieu d'écrire SS, SSS, . . , on emploie la notation des

exposants et l'on écrit S-, S^, ....

Remarque. — Le produit de la substitution par son inverse est la substitution identique

que l'on désigne symboliquement par i. On a, en effet.

donc, en éliminant Ti,

ce que l'on exprime en écrivant

S-iS = i; SS-i = i.

on a aussi

Si l'on répète deux, trois fois de suite, la substitution inverse

PÉRIODES ÉQUI VALENT lis. 38 1

S~*, au lieu dV'Ciire S^' S"', S~' S~' S~*. . . . , on emploie des exposants négatifs et l'on écrit S~-, S~'', ...

23 i. Groupe de substitutions. — Une suite de substitutions données S|, So, ..., Sv, ..., en nombre fini ou infini,

CvX -+- C^v

forme un groupe, si l'inverse d'une quelconque de ces substitutions et le produit de deux quelconques de ces substitutions sont encore des substitutions de la suite.

233. Groupe modulaire. — D'après cette définition, toutes les substitutions en nombre infini

ç az -^ b