CI -T- cl

OÙ a, b, c, d sont des entiers assujettis à la seule condition

ad — bc = i,

forment un groupe. En effet la substitution inverse de S,

— dz -h b aiz -\- bx cz — a c^z -\- dy

est encore formée avec quatre entiers a,, ^,, C|, c/, tels que

«1 di — biCi = ad — bc = i.

Le produit S'S de deux des substitutions considérées est une

substitution

At-4-B G-r-i-D'

dont les coefficients sont entiers d'après les formules (7) et vérifient la relation AD — BC = i , car on a

AD — BC ={a'd'—b'c'){ad— bc)

et les deux facteurs du second membre sont égaux à i par hypothèse.

Le groupe ainsi défini est le groupe modulaire, et l'on peut dire

CHAPITUE XIII.

(]ue la fonclion J(t) csl laissée in\ariable par toutes les substilulious de ce groupe.

230. Substitutions fondamentales du groupe modulaire. — Toutes les subslilulions du groupe modulaire peuvent être engendrées |)ar les produits des puissances positives et négatives des deux substitutions

S- = T-î-i, (a = i, i = i,c — o, rf=i),

Tt = --,

que l'on appelle pour cette raison les substitutions fondamentales du groupe.

L'inverse de St est

S-'T = T — i; l'inverse de Tt est

T-ix=-i,

elle est égale à Tt. Nous ne nous arrêterons pas à démontrer que toute substitution à coefficients entiers

«T -i- b Cl -^ d

telle que ad — 6c = i, peut être obtenue en multipliant ces substitutions fondamentales et leurs inverses dans un ordre quelconque, chaque facteur pouvant être répété un nombre quelconque de fois. Nous admettrons ce point dont on trouvera la démonstration dans le Livre de M. Klein sur les fonctions modulaires.

Bornons-nous à remarquer que le fait, que toutes les substitutions du groupe modulaire peuvent être obtenues par la multiplication de deux substitutions fondamentales et de leurs inverses, a déjà son analogue dans la théorie des fonctions doublement périodiques. Si l'on appelle 210 et 20)' les deux périodes, une fonction doublement périodique F(?^) ne change pas de valeur quand on fait sur u toutes les substitutions contenues dans la formule

m et n étant deux entiers quelconques. Ces substitutions forment

i'i:uioni:s tQi i valent k s. 383

iingroupr f|ui adinel comme siihstitulions fondamentales les deux siil)Slittiti()ns

dont les inverses sont

S-' a ^^ u — 2to,

11 est évident fjue par la multiplication de ces substitutions on obtient toutes les substitutions de la forme u -\- amio + iiihi' .

237. Interprétation géométrique. — Pour représenter géométriquement la double périodicité, nous avons divisé le plan en cases qui sont des parallélogrammes tous égaux, et nous avons remarqué que la fonction reprend les mêmes valeurs aux points homologues de toutes ces cases. L'une de ces cases étant choisie comme case fondamentale, quand le point a décrit cette case, les points homologues, u -^ amw-f-anw', décrivent chacun une des autres cases.

On peut opérer de même pour la fonction modulaire J(t). Comme nous supposons la partie imaginaire de t positive, le point représentatif de t est dans le dcmi-|)lan situé au-dessus de Taxe des quantités réelles. On peut alors décomposer ce demi-plan en cases telles que l'une de ces cases étant choisie comme case fondamentale, quand le point t décrit cette case, les points

az -^ h c~ -r- cl

rt, b, c, d entiers tels c^uead — bc= i, décrivent chacun une des autres cases. La fonction J(t) prend alors la même valeur aux points correspondants de toutes les cases et il suffit de la connaître dans la case Ibndamenlale, pour la connaître dans tout le demiplan.

Cette division du demi-plan en cases peut se faire d'une infinité de façons. La plus simple est celle que l'on réalise avec des arcs de cercle avant leurs centres sur l'axe des quantités réelles. Le point de départ de celte division est dans l'interprétation géométrique des substitutions linéaires, à coefficients réels, à l'aide de la cundjinaison de deux transformations successives par rayons

c n A p I T a E XIII.

vecteurs réciproques, telle qu'elle résulte des travaux de MM. Klein, Schwarz et Poincaré.